有两个谜题让古代的数学爱好者夜不能寐：1）曲线下的面积；2）曲线上一点的斜率。
在本文中，我们将逐步深入地探讨这两个问题。然后我们会回到求曲线斜率的微积分方法上来。
- 古代的两个问题：曲线下的面积和曲线上一点的斜率。
让我们从一个简单的例子开始。
- 。求三角形的面积和斜边的斜率。
在上图中，曲线是一条直线，我们感兴趣的是它下面三角形的面积。
这是直线的斜率：
我们要推广这个过程。用一个公式就能求出斜率和面积。
我一直在说“曲线”。在这个例子中，曲线就是直线。其公式是：
可以通过代入点(1.5，0)和(3.5，4)来验证。
方程的阶是最高指数的值。这里，阶是1。现在我们回到面积和斜率的计算。看看曲线方程的阶是怎样的。
首先，y=2x-3下任意一个三角形的面积是多少？
- 求面积和斜率的一般情况
开始似乎把三角形的面积完全复杂化了。但是，最后的结果很简单。这条曲线下的三角形面积是△x的平方。
把阶数会从1增加到2。我们用一个x项乘以一个一阶表达式。我们会看到这和多项式方程是一致的。曲线下的面积方程会高一个阶。
上面冗长的推导是一种常见的方法。通常我们可以从第一行跳到最后一行，然后跳过中间的内容。在本文中，我们不会对高阶多项式推广这个过程。相反，我们将重点研究不同函数的斜率。
多项式函数的斜率
你们已经知道这条直线y = mx b的斜率是 m，我们将用微积分方法推导它。然后我们将这种方法应用于高阶情况。
这样的一个例子很简单，但是观察这个过程和结果。方程的阶数从1降到了0。现在我们把这个方法用到曲线上，更高阶的多项式。这次，我们从斜率开始。
当点越靠近，切线就越接近曲线的方向。我们来看看关于n次项的斜率。
为了理解分子，我们需要用到二项式定理
根据二项式定理，我们展开了分子的第一项。同时减去分子的第二项。
下一步是把这些都除以分母。这意味着每一项含有△x的指数都将减少1。
最后可以表示任意一项的斜率为：
我们如何处理带有多项的函数？例如函数4 x³ 3 x² 7x 1的斜率是12 x² 6 x 7。可以观察到：
- 常数的斜率是零；
- 当x项的系数不是1时，指数乘以系数；
三角函数的斜率
我们来看看sinx的斜率函数。
正弦函数的周期为2π。在波峰和波谷处切线是水平的。在这两点之间，切线的斜率在 1和-1之间变化。
上图放大了单位圆的一部分。角度θ的微小增加对应于该角度所包围的弧长的微小增加。在这种微小的规模上，弧线是一条直线。它形成直角三角形的斜边。
dθ是指角度θ的无限微小变化。当θ增加，sinθ增加值为：dsinθ。同样cosθ减小d cosθ。
这两个三角形相似，得到：
这两个函数，sin和cos，是相同的，但是不同步。看看它们是如何交织在一起的。一个增加，另一个减少：
一旦知道了正弦和余弦函数，就可以推导出其他的三角函数。但是你需要知道乘法法则和除法法则。
乘法法则
假设你想把两个函数相乘:
让我们取两个通用函数u和v，并将它们表示为矩形的边。它们的乘积就是矩形的面积。函数的斜率表示函数增加或减少的速率。我们感兴趣的是，随着矩形每条边的变化，面积如何变化。
面积的增加是由v du u dv du dv给出的。假设u和v是x的函数，我们要表示组合函数uv随x变化的变化量。就像我们对三角函数所做的那样，我们可以用表示函数斜率的比率来表示这个变化。
分子上的最后一个乘积，du dv可以忽略不计。这是因为(du dv)/dx只包含无穷小，它对结果没有影响。
让我们看看下面的这个例子。
这两个函数在一起。
你能说出哪个函数是原函数，哪个是斜率函数吗？斜率函数的值总是与原始函数在任意x值处的斜率相匹配。
除法的法则
有一个除法法则。看看你能不能从乘法法则和幂法则中推导出来。用负指数把分母变成分子。这是你应该得到的结果：
指数函数和对数
指数函数以与函数值成正比的速度增长。比例常数是对数。
对数函数的斜率如下：
复合函数求导法则
最后，我们来看函数的功能。
这里有一个操作的小符号：
将这个过程应用到我们的例子中：
这就是它看起来的样子，哪个是原函数？哪个是斜率函数？
当微积分刚发明的时候，它缺乏我们现在所期望的严谨性。在19世纪，柯西将极限理论应用于微积分。在20世纪中叶，亚伯拉罕·罗宾逊将非标准分析正式化。他的系统定义了超实数——实数的扩展。大多数微积分教科书都使用极限来严格地证明微积分定理。在本文中，我采用了一种不那么严格的方法。我没有像罗宾逊那样严格地定义无穷小。然而，我试图提取他方法的精髓。
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