圆的八大模型讲解（经典几何模型之隐圆）

经典几何模型之隐圆""圆来如此简单"，我来为大家科普一下关于圆的八大模型讲解?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

圆的八大模型讲解

经典几何模型之隐圆""圆来如此简单"

————段廉洁

一.名称由来

在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现"圆"，

但是解题中必须用到"圆"的知识点，像这样的题我们称之为"隐圆模型"。

正所谓：有"圆"千里来相会，无"圆"对面不相逢。"隐圆模型"的题的关键突破口

就在于能否看出这个"隐藏的圆"。一旦"圆"形毕露，则答案手到擒来！

二.模型建立

【模型一：定弦定角】

【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】

【模型三：直角所对的是直径】

【模型四：四点共圆】

三．模型基本类型图形解读

【模型一：定弦定角的"前世今生"】

【模型二：动点到定点定长】

【模型三：直角所对的是直径】

【模型四：四点共圆】

四．"隐圆"破解策略

牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。

直角必有外接圆，对角互补也共圆。

五．"隐圆"题型知识储备

六．"隐圆"典型例题

【模型一：定弦定角】

1.（2017 威海）如图 1，△ABC为等边三角形，AB=2，若 P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段 PB长度的最小值为__________。

简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB ∠PAC=60°，所以∠PAC ∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为 AC定长、∠APC=120°定角，故满足"定弦定角模型"，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以 AC为边向下作等边△AOC，以 O为圆心，OA为半径作⊙O，P在⊙O上。当 B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离），

此时 BP=2 3 -2

2.如图 1 所示，边长为 2 的等边△ABC 的原点 A 在 x 轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点 A在射线 OD上移动，则顶点 C到原点 O的最大距离为__________。

简答：因为∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O三点共圆，圆心角为 60°，故以 AB为边向 O方向作等边△ABQ，∠AQB=60°为圆心角，Q为圆心，以 QA为半径作⊙ Q （ 如 图 2 ）， 由 知 识 储 备 二 可 知 当 OC ⊥ AB 时 ， OC 距 离 最 大 ，

OC=OQ QH HC=2 3 3 =2 2 3 【思考：若∠BOD=45°呢？（提示：需要构造倍角

模型）】

3.如图 1，点 A是直线 y=-x上的一个动点，点 B是 x轴上的动点，若 AB=2，则△AOB面积最大值为（ ）

A. 2 B. 12  C. 12  D. 22

简答：因为 AB=2（定弦），∠AOB=135°（定角），因为∠AOB 是圆周角，故圆心角为 90°，以 AB为斜边向上方作等腰直角△QAB，则 Q为圆心（如图 2），由"知识储备二"可知，当 OQ ⊥ AB 时 ， 此 时 △ OAB 的 高 OH 最 大 ， 面 积 最 大 。 面 积 为1 1 2 ( 2 1) 2 12 2AB OH       ，所以此题选择 B。

同学：老师，你说错答案了，选 C。 小段老师：没错啊，就选 B啊。同学：你是老师，你说了算，你开心就好...

小段老师：题目有告诉你们 A、B在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB=135°呢，难道不可能等于 45°吗？如图 3，构建⊙Q，由"知识储备二"可知当 OQ⊥AB 时，此时△OAB的

面积最大为1 1 2 ( 2 1) 2 12 2AB OH     ，故答案选 B

4.如图 1，AC为边长为 32 的菱形 ABCD的对角线，∠ABC=60°，点 M、N分别从点 B、

C同时出发，以相同速度沿 BC、CA向终点 C和 A运动，连接 AM 和 BN，求△APB周长的最大值

简答：如图 2，由M、N点速度相同可知 BM=CN，易证△ABM≌△BCN，故∠NBC=∠BAM（如图 2），又因为∠NBC ∠ABN=60°，所以∠BAM ∠ABN=∠APN=60°（外角性质），所以∠APB=120°（定角），又因为 AB长度固定（定弦），故以 AB为底向左侧构建等腰△QAB，∠AQB=120°，则 P在⊙Q上，由"知识储备三"可知，当△ABP是等腰三角形时，

△ABP 周长最短。又由△APB 是定角为 120°的等腰三角形，故 AP:BP:AB=1:1: 3，

AB=AC=2 3，故 PB=PA=2，故△ABP的周长最大值为 4 2 3

【模型二：动点到定点定长】

1.如图 1，四边形 ABCD中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=_______度。

简答：如图 2，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D三点在以 A为圆心的圆上，故∠CBD= 12∠

CAD=38°2.如图，在△ABC内有一点 D，使得 DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=__________。

简答：如图 2，因为 DA=DB=DC，故 A、B、C三点在⊙D上，∠DAB=∠DBA=20°，故∠

ADB=140°，故∠ACB= 12∠ADB=70°

3.如图 1，已知四边形 ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求 BD

简答：因为∠1=∠2，AD∥BC，故∠3=∠1，∠4=∠2，故易证△AEB≌△ACD，故 EB=CD=6，ED=2AD=10，故 BD=84.如图 1，长 2 米的梯子 AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子 AB的中点 P的移动轨迹长度为？

.

简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点 P到定点 O的距离始终等于 1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故 P的运动轨迹是圆弧，圆心角为 90°，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。

5.在矩形 ABCD 中，已知 AB=2，BC=3，现有一根长为 2 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即

两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒 EF的中点 P在运动过程中所围成的围形的面积为？

如图 1 如图 2

简答：由上一题可知，P的运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点 P 所围成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案： 6 6.如图 1，在矩形 ABCD中，AB=2，AD=3，点 E，F分别为 AD、DC边上的点，且 EF=2，G为 EF的中点，P为 BC边上一动点，则 PA PG的最小值为？

如图 1 如图 2

简单：G的运动轨迹为圆，求 AP PG典型的"将军饮马"问题，故做 A关于 BC的对称点A＇，则 AP PG=A＇P PG，当 A＇、P、G 三点共线时，最短，又因为 A＇为固定点，G 在圆上运动，由"知识储备一"可知当 A＇、G、D三点共线时，此时 A＇G最短，为 47.在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（3，0），B为 y轴正半轴上的点，C为第一象限内的点，且 AC=2.设 tAN∠BOC=M，则M的取值范围为？

简答：因为 AC=2，A是定点，通过圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆）可知，C在⊙A上运动，当 OC 与⊙A相切时，此时∠BOC 最小，tAN∠BOC 也最小，此

时∠BOC ∠AOC=∠AOC ∠CAO=90°，故∠BOC=∠CAO，此时 tAN∠CAO= 52

OCAC

 ，

又因为角度越大，正切值越大，故 tAN∠BOC=M≥ 52

8.如图 1，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点 F在边 AC上，并且 CF=2，点 E

为边 BC上的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P到边 AB 距离的

最小值是？

简答：E是动点，导致 EF、EC、EP都在变化，但是 FP=FC=2 不变，故 P点到 F点的距离永远等于 2，故 P 在⊙F上运动，如图 2。由垂线段最短可知，FH⊥AB 时，FH最短，当 F、P、H三点共线时，PH 最短，又因为△AFH∽△ABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3，又因为 AF=5，故 FH=4，又因为 FP=2，故 PH 最短为 29.如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝ 3 3 ，M 是 AD 边的中点，N 是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△PMN，连接 PC，则 PC长度的最小值是？

简答：翻折过程中，MP=MA=2，故 P在⊙M上运动，当M、P、C三点共线时，PC最短。

PC=MC-MP，要求MP 需要过M作MH⊥CD于 H，∠HDM=30°，故 HM=1，HD= 3，

故 HC=4 3，故易求MC=7，则 PC=7-2=5

【模型三：直角所对的是直径】

1.如图 1，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段 CP长的最小值为？

简答：如图 2，因为 AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故 P 在以 AB 为直径的⊙H上，当 H、P、C三点共线时 CP最短，HB=3，BC=4 则 HC=5，故 CP=5-3=22.如图 1，A（1,0）、B（3,0），以 AB 为直径作圆 M，射线 OF 交圆 M 于 E、F 两点，C为弧 AB的中点，D为弦 EF的中点，当射线绕 O旋转时，CD的最小值为？

简答：因为 D是 EF中点，故MD⊥EF，故∠ODM 始终等于 90°，故 D在以 OM 为直径的圆上，如图 2。易知 A为圆心，当 A、D、C三点共线时，CD 最短，CD=AC-AD，又易

知 C（2,1），故 AC= 2 ，故 CD= 2 -1

3.在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O为 AC的中点,过 O作 OE⊥OF,OE、OF分别交射线 AB,BC于 E、F，则 EF的最小值为？

简答：因为∠EOF=90°，∠C=90°，故 C、O均在以 EF为直径的圆上（也称四点共圆），因为 EF 是圆的直径，O、C均在圆上，且 OC 长度固定，要使得 EF 最短，则圆最小，要使圆最小，OC为固定长度，则 OC为直径时，圆最小（此处比较难，思维量比较大，大家慢慢琢磨），此时 CO=EF=OA=OB=5（斜边上中线等于斜边一半）4.如图 1，已知 Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边 AB上的动点，Q是边 BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段 CQ的取值范围．

简答：以 CQ为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，若 AB边上的动点 P在圆上，∠CPQ就为直角．当⊙O与 AB相切时（如图 2），直径 CQ最小．由切线长定理，得 AP＝

AC＝5，所以 BP＝13―5＝8．再根据△BPO∽△BCA，所以 OP＝ 103，CQ＝ 20

3．当点 Q

与点 B重合时（如图 3），直径 CQ最大，此时ＣＱ＝１２．综上所述， 203

≤CQ≤12

5.如图 1，半径为 4 的⊙O中，CD为直径，弦 AB⊥CD且过半径 OD的中点，点 E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点 F．当点 E从点 B出发顺时针运动到点 D时，点 F所经过的路径长为？

简答：因为∠CFA=90°（定角），AC=4 3（定弦），故 F在以 AC 为直径的⊙Q上，当 E

在 B处时，F在 G处，当 E在 D处时，F在 A处，故 F的运动路径为弧 AG的长度，易求

出∠ACD=30°，故∠AQG=60°，故弧 AG长度=60 2 32 2 3=360 3

 π

6.（2013 武汉）如图 1，E，F是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF．连接CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H．若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小

值是？

简答：易证△ABE≌△DCF，△DAG≌△DCG，故∠DAG=∠DCG=∠ABE，又因为∠ABE ∠AEB=90°，故∠EAH ∠AEH=90°，故∠AHB=90°，故 H在以 AB 为直径的⊙O上，

当 O、H、D三点共线的时候 DH最小，DH=OD-OH= 5 -1

7.如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，D 为线段 AC 上一动点，将△BDC沿着 BD翻折，点 C的对应点为 F，E为 AC的中点，在 D从 C到 A的运动过程中，当 EF最短时，CD为？

简答：在折叠过程中，BF 始终等于 BC，故 F 到 B 点的距离是定值，F 在⊙B 上，当 EF最短时，B、E、F三点共线（如图 2），此时∠BFD=∠BCD=30°，∠FBD=∠CBD=15°（因为 BE=CE，故∠EBC=∠BCE=30°），故∠FDH=∠CDH=45°，∠FED=60°，故 FD⊥CE，

EF=BF-BE= 3 1 ， 又 因 为 DF=DC ， 在 Rt △ EDF 中1 3 12 2

ED EF   ， 故

CD=1-ED= 3 1 3 312 2 

 

8.（2017 宿迁）如图，在矩形纸片 ABCD中，已知 AB=1，BC= 3，点 E在边 CD上移动，

连接 AE，将多边形 ABCE沿直线 AE翻折，得到多边形 AB′C′E，点 B、C的对应点分别为点 B′、C′．（1）当 B′C′恰好经过点 D时（如图 1），求线段 CE的长；（2）若 B′C′分别交边 AD，CD 于点 F，G，且∠DAE=22.5°（如图 2），求△DFG的面积；

（3）在点 E从点 C移动到点 D的过程中，求点 C′运动的路径长．

简答：（1）"K字形"秒杀，过程略，答案： 6 2

（2）由翻折全等可知∠B′AE=∠BAE=67.5°，又因为∠DAE=22.5°，故∠B′

AF=45°，故△AB′F、△DFE均为等腰直角三角形，后面略，答案： 5 62

（3）折叠过程中始终有 AC＇=AC，故 C＇在以 A为圆心，AC 为半径的圆上。根据点 E在 C时，C＇在 C点，点 E移动到 D时，C＇在如图 3 位置，

易求 C′运动的圆弧的圆心角为 60°，故 C′运动的轨迹为 60 22 2=360 3

 π π

【模型四：四点共圆】

1.如图 1，正方形 ABCD 中，∠EAF=45°，AF 与 BD 交于 N，AE 与 BD 交于 M，连接MF、NE，求证△ANE、△AMF是等腰直角三角形

简答：因为∠1=∠2=45°，∠3=∠4，故 A、B、E、N四点共圆，因为∠ABE=90°，故 AE为直径，故∠ANE=90°，故△ANE 是等腰直角三角形，同理可证△AMF是等腰直角三角形

（此题也是很经典的"半角模型"问题之一）

2.如图 1，等边△ABC 中，AB=6，P为 AB 上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则 DE的最小值为？

简答：因为∠PEC=∠PDC=90°，故四边形 PDCE 对角互补，故 PDCE 四点共圆，如图 2。

∠EOD=2∠ECD=120°，故 ED= 3R，要使得 DE最小则要使圆的半径 R最小，故直径 PC

最小，当 CP⊥AB时，PC最短为3 3，故 R=3 32

，故 DE= 3 3 93 32 2

R   

3.如图，正方形 ABCD绕点 A逆时针旋转到正方形 APQR，连接 CQ，延长 BP交于 CQ于点 E，求证：E是线段 CQ的中点

简答：因为 AC=AQ，AB=AP且∠BAP=∠CAQ（旋转角相等）故△APB∽△AQC，故∠ABP=∠ACQ又因为∠1=∠2，故 A、B、C、E四点共圆（如图 2），因为∠ABC=90°，故 AC是直径，故∠AEC=90°，又因为 AQ=AC，所以 AE垂直且平分 QC（三线合一）4.如图 1，已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形，取 AC的中点 E，△ABC 绕 E点旋转任意角度得到△GMN，直线 BN、GC 相交于点 H。△GMN 绕点 E旋转的过程中，线段 AH的最大值是？

简答：因为 EB=EN（分别是△ABC、△GMN的高），EC=EG，且∠GEC=∠NEB（旋转角相等），故△GEC∽△NEB，故∠GCE=∠EBH（前面相似主要目的是为了得到此处角相等，故不一定要说明相似，用内角和说明角相等亦可），又因为∠GCE ∠ECH=180°，所以∠EBH ∠ECH=180°，故 E、B、H、C四点共圆，因为∠BEC=90°，所以 BC为直径，圆

心 O是 BC中点，R=2，当 A、O、H三点共线时，AH长度最大，AH=AO OH= 2 3 2

思考题：如图，点 D为∠ABC 的一遍 BC 上一丁点，且 BD=5，线段 PQ在∠ABC 另一边

AB上移动，且 PQ=2，若 siNB=35，则当∠PDQ达到最大值时，PD的长为？

简单：当 DH垂直平分 PQ时，∠PDQ最大，答案：PD= 10 （wHy？自行思考）

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