经典几何模型之隐圆""圆来如此简单",我来为大家科普一下关于圆的八大模型讲解?下面希望有你要的答案,我们一起来看看吧!

圆的八大模型讲解(经典几何模型之隐圆)

圆的八大模型讲解

经典几何模型之隐圆""圆来如此简单"

————段廉洁

一.名称由来

在中考数学中,有一类高频率考题,几乎每年各地都会出现,明明图形中没有出现"圆",

但是解题中必须用到"圆"的知识点,像这样的题我们称之为"隐圆模型"。

正所谓:有"圆"千里来相会,无"圆"对面不相逢。"隐圆模型"的题的关键突破口

就在于能否看出这个"隐藏的圆"。一旦"圆"形毕露,则答案手到擒来!

二.模型建立

【模型一:定弦定角】

【模型二:动点到定点定长(通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变)】

【模型三:直角所对的是直径】

【模型四:四点共圆】

三.模型基本类型图形解读

【模型一:定弦定角的"前世今生"】

【模型二:动点到定点定长】

【模型三:直角所对的是直径】

【模型四:四点共圆】

四."隐圆"破解策略

牢记口诀:定点定长走圆周,定线定角跑双弧。

直角必有外接圆,对角互补也共圆。

五."隐圆"题型知识储备

六."隐圆"典型例题

【模型一:定弦定角】

1.(2017 威海)如图 1,△ABC为等边三角形,AB=2,若 P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段 PB长度的最小值为__________。

简答:因为∠PAB=∠PCA,∠PAB ∠PAC=60°,所以∠PAC ∠PCA=60°,即∠APC=120°。因为 AC定长、∠APC=120°定角,故满足"定弦定角模型",P在圆上,圆周角∠APC=120°,通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°,故以 AC为边向下作等边△AOC,以 O为圆心,OA为半径作⊙O,P在⊙O上。当 B、P、O三点共线时,BP最短(知识储备一:点圆距离),

此时 BP=2 3 -2

2.如图 1 所示,边长为 2 的等边△ABC 的原点 A 在 x 轴的正半轴上移动,∠BOD=30°,顶点 A在射线 OD上移动,则顶点 C到原点 O的最大距离为__________。

简答:因为∠AOB=30°(定角),AB=2(定弦),故 A、B、O三点共圆,圆心角为 60°,故以 AB为边向 O方向作等边△ABQ,∠AQB=60°为圆心角,Q为圆心,以 QA为半径作⊙ Q ( 如 图 2 ), 由 知 识 储 备 二 可 知 当 OC ⊥ AB 时 , OC 距 离 最 大 ,

OC=OQ QH HC=2 3 3 =2 2 3 【思考:若∠BOD=45°呢?(提示:需要构造倍角

模型)】

3.如图 1,点 A是直线 y=-x上的一个动点,点 B是 x轴上的动点,若 AB=2,则△AOB面积最大值为( )

A. 2 B. 12  C. 12  D. 22

简答:因为 AB=2(定弦),∠AOB=135°(定角),因为∠AOB 是圆周角,故圆心角为 90°,以 AB为斜边向上方作等腰直角△QAB,则 Q为圆心(如图 2),由"知识储备二"可知,当 OQ ⊥ AB 时 , 此 时 △ OAB 的 高 OH 最 大 , 面 积 最 大 。 面 积 为1 1 2 ( 2 1) 2 12 2AB OH       ,所以此题选择 B。

同学:老师,你说错答案了,选 C。 小段老师:没错啊,就选 B啊。同学:你是老师,你说了算,你开心就好...

小段老师:题目有告诉你们 A、B在哪里吗,为什么想当然觉得∠AOB=135°呢,难道不可能等于 45°吗?如图 3,构建⊙Q,由"知识储备二"可知当 OQ⊥AB 时,此时△OAB的

面积最大为1 1 2 ( 2 1) 2 12 2AB OH     ,故答案选 B

4.如图 1,AC为边长为 32 的菱形 ABCD的对角线,∠ABC=60°,点 M、N分别从点 B、

C同时出发,以相同速度沿 BC、CA向终点 C和 A运动,连接 AM 和 BN,求△APB周长的最大值

简答:如图 2,由M、N点速度相同可知 BM=CN,易证△ABM≌△BCN,故∠NBC=∠BAM(如图 2),又因为∠NBC ∠ABN=60°,所以∠BAM ∠ABN=∠APN=60°(外角性质),所以∠APB=120°(定角),又因为 AB长度固定(定弦),故以 AB为底向左侧构建等腰△QAB,∠AQB=120°,则 P在⊙Q上,由"知识储备三"可知,当△ABP是等腰三角形时,

△ABP 周长最短。又由△APB 是定角为 120°的等腰三角形,故 AP:BP:AB=1:1: 3,

AB=AC=2 3,故 PB=PA=2,故△ABP的周长最大值为 4 2 3

【模型二:动点到定点定长】

1.如图 1,四边形 ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=76°,则∠CBD=_______度。

简答:如图 2,因为 AB=AC=AD,故 B、C、D三点在以 A为圆心的圆上,故∠CBD= 12∠

CAD=38°2.如图,在△ABC内有一点 D,使得 DA=DB=DC,若∠DAB=20°,则∠ACB=__________。

简答:如图 2,因为 DA=DB=DC,故 A、B、C三点在⊙D上,∠DAB=∠DBA=20°,故∠

ADB=140°,故∠ACB= 12∠ADB=70°

3.如图 1,已知四边形 ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=5,BC=6,求 BD

简答:因为∠1=∠2,AD∥BC,故∠3=∠1,∠4=∠2,故易证△AEB≌△ACD,故 EB=CD=6,ED=2AD=10,故 BD=84.如图 1,长 2 米的梯子 AB竖直放在墙角,在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中,梯子 AB的中点 P的移动轨迹长度为?

.

简答:由斜边上的中点等于斜边的一半可知,OP=1,动点 P到定点 O的距离始终等于 1,满足圆的定义(到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆),故 P的运动轨迹是圆弧,圆心角为 90°,轨迹长度为四分之一圆的长度,省略。

5.在矩形 ABCD 中,已知 AB=2,BC=3,现有一根长为 2 的木棒 EF 紧贴着矩形的边(即

两个端点始终落在矩形的边上),接逆时针方向滑动一周,则木棒 EF的中点 P在运动过程中所围成的围形的面积为?

如图 1 如图 2

简答:由上一题可知,P的运动轨迹是圆弧,因为滑动一周,故有四个圆弧,则点 P 所围成的图形为中间的图形,用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可,答案: 6 6.如图 1,在矩形 ABCD中,AB=2,AD=3,点 E,F分别为 AD、DC边上的点,且 EF=2,G为 EF的中点,P为 BC边上一动点,则 PA PG的最小值为?

如图 1 如图 2

简单:G的运动轨迹为圆,求 AP PG典型的"将军饮马"问题,故做 A关于 BC的对称点A',则 AP PG=A'P PG,当 A'、P、G 三点共线时,最短,又因为 A'为固定点,G 在圆上运动,由"知识储备一"可知当 A'、G、D三点共线时,此时 A'G最短,为 47.在平面直角坐标系中,点 A的坐标为(3,0),B为 y轴正半轴上的点,C为第一象限内的点,且 AC=2.设 tAN∠BOC=M,则M的取值范围为?

简答:因为 AC=2,A是定点,通过圆的定义(到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆)可知,C在⊙A上运动,当 OC 与⊙A相切时,此时∠BOC 最小,tAN∠BOC 也最小,此

时∠BOC ∠AOC=∠AOC ∠CAO=90°,故∠BOC=∠CAO,此时 tAN∠CAO= 52

OCAC

 ,

又因为角度越大,正切值越大,故 tAN∠BOC=M≥ 52

8.如图 1,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=7,BC=8,点 F在边 AC上,并且 CF=2,点 E

为边 BC上的动点,将△CEF 沿直线 EF 翻折,点 C 落在点 P 处,则点 P到边 AB 距离的

最小值是?

简答:E是动点,导致 EF、EC、EP都在变化,但是 FP=FC=2 不变,故 P点到 F点的距离永远等于 2,故 P 在⊙F上运动,如图 2。由垂线段最短可知,FH⊥AB 时,FH最短,当 F、P、H三点共线时,PH 最短,又因为△AFH∽△ABC,所以 AF:FH:AH=5:4:3,又因为 AF=5,故 FH=4,又因为 FP=2,故 PH 最短为 29.如图,在□ABCD 中,∠BCD=30°,BC=4,CD= 3 3 ,M 是 AD 边的中点,N 是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△PMN,连接 PC,则 PC长度的最小值是?

简答:翻折过程中,MP=MA=2,故 P在⊙M上运动,当M、P、C三点共线时,PC最短。

PC=MC-MP,要求MP 需要过M作MH⊥CD于 H,∠HDM=30°,故 HM=1,HD= 3,

故 HC=4 3,故易求MC=7,则 PC=7-2=5

【模型三:直角所对的是直径】

1.如图 1,Rt△ABC 中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且始终有AP⊥BP,则线段 CP长的最小值为?

简答:如图 2,因为 AP⊥BP,∠P=90°(定角),AB=6(定弦),故 P 在以 AB 为直径的⊙H上,当 H、P、C三点共线时 CP最短,HB=3,BC=4 则 HC=5,故 CP=5-3=22.如图 1,A(1,0)、B(3,0),以 AB 为直径作圆 M,射线 OF 交圆 M 于 E、F 两点,C为弧 AB的中点,D为弦 EF的中点,当射线绕 O旋转时,CD的最小值为?

简答:因为 D是 EF中点,故MD⊥EF,故∠ODM 始终等于 90°,故 D在以 OM 为直径的圆上,如图 2。易知 A为圆心,当 A、D、C三点共线时,CD 最短,CD=AC-AD,又易

知 C(2,1),故 AC= 2 ,故 CD= 2 -1

3.在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O为 AC的中点,过 O作 OE⊥OF,OE、OF分别交射线 AB,BC于 E、F,则 EF的最小值为?

简答:因为∠EOF=90°,∠C=90°,故 C、O均在以 EF为直径的圆上(也称四点共圆),因为 EF 是圆的直径,O、C均在圆上,且 OC 长度固定,要使得 EF 最短,则圆最小,要使圆最小,OC为固定长度,则 OC为直径时,圆最小(此处比较难,思维量比较大,大家慢慢琢磨),此时 CO=EF=OA=OB=5(斜边上中线等于斜边一半)4.如图 1,已知 Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是边 AB上的动点,Q是边 BC上的动点,且∠CPQ=90°,求线段 CQ的取值范围.

简答:以 CQ为直径作⊙O,根据直径所对的圆周角是直角,若 AB边上的动点 P在圆上,∠CPQ就为直角.当⊙O与 AB相切时(如图 2),直径 CQ最小.由切线长定理,得 AP=

AC=5,所以 BP=13―5=8.再根据△BPO∽△BCA,所以 OP= 103,CQ= 20

3.当点 Q

与点 B重合时(如图 3),直径 CQ最大,此时CQ=12.综上所述, 203

≤CQ≤12

5.如图 1,半径为 4 的⊙O中,CD为直径,弦 AB⊥CD且过半径 OD的中点,点 E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点 F.当点 E从点 B出发顺时针运动到点 D时,点 F所经过的路径长为?

简答:因为∠CFA=90°(定角),AC=4 3(定弦),故 F在以 AC 为直径的⊙Q上,当 E

在 B处时,F在 G处,当 E在 D处时,F在 A处,故 F的运动路径为弧 AG的长度,易求

出∠ACD=30°,故∠AQG=60°,故弧 AG长度=60 2 32 2 3=360 3

 π

6.(2013 武汉)如图 1,E,F是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点,满足 AE=DF.连接CF 交 BD 于点 G,连接 BE 交 AG 于点 H.若正方形的边长为 2,则线段 DH 长度的最小

值是?

简答:易证△ABE≌△DCF,△DAG≌△DCG,故∠DAG=∠DCG=∠ABE,又因为∠ABE ∠AEB=90°,故∠EAH ∠AEH=90°,故∠AHB=90°,故 H在以 AB 为直径的⊙O上,

当 O、H、D三点共线的时候 DH最小,DH=OD-OH= 5 -1

7.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠C=30°,AB=1,D 为线段 AC 上一动点,将△BDC沿着 BD翻折,点 C的对应点为 F,E为 AC的中点,在 D从 C到 A的运动过程中,当 EF最短时,CD为?

简答:在折叠过程中,BF 始终等于 BC,故 F 到 B 点的距离是定值,F 在⊙B 上,当 EF最短时,B、E、F三点共线(如图 2),此时∠BFD=∠BCD=30°,∠FBD=∠CBD=15°(因为 BE=CE,故∠EBC=∠BCE=30°),故∠FDH=∠CDH=45°,∠FED=60°,故 FD⊥CE,

EF=BF-BE= 3 1 , 又 因 为 DF=DC , 在 Rt △ EDF 中1 3 12 2

ED EF   , 故

CD=1-ED= 3 1 3 312 2 

 

8.(2017 宿迁)如图,在矩形纸片 ABCD中,已知 AB=1,BC= 3,点 E在边 CD上移动,

连接 AE,将多边形 ABCE沿直线 AE翻折,得到多边形 AB′C′E,点 B、C的对应点分别为点 B′、C′.(1)当 B′C′恰好经过点 D时(如图 1),求线段 CE的长;(2)若 B′C′分别交边 AD,CD 于点 F,G,且∠DAE=22.5°(如图 2),求△DFG的面积;

(3)在点 E从点 C移动到点 D的过程中,求点 C′运动的路径长.

简答:(1)"K字形"秒杀,过程略,答案: 6 2

(2)由翻折全等可知∠B′AE=∠BAE=67.5°,又因为∠DAE=22.5°,故∠B′

AF=45°,故△AB′F、△DFE均为等腰直角三角形,后面略,答案: 5 62

(3)折叠过程中始终有 AC'=AC,故 C'在以 A为圆心,AC 为半径的圆上。根据点 E在 C时,C'在 C点,点 E移动到 D时,C'在如图 3 位置,

易求 C′运动的圆弧的圆心角为 60°,故 C′运动的轨迹为 60 22 2=360 3

 π π

【模型四:四点共圆】

1.如图 1,正方形 ABCD 中,∠EAF=45°,AF 与 BD 交于 N,AE 与 BD 交于 M,连接MF、NE,求证△ANE、△AMF是等腰直角三角形

简答:因为∠1=∠2=45°,∠3=∠4,故 A、B、E、N四点共圆,因为∠ABE=90°,故 AE为直径,故∠ANE=90°,故△ANE 是等腰直角三角形,同理可证△AMF是等腰直角三角形

(此题也是很经典的"半角模型"问题之一)

2.如图 1,等边△ABC 中,AB=6,P为 AB 上一动点,PD⊥BC,PE⊥AC,则 DE的最小值为?

简答:因为∠PEC=∠PDC=90°,故四边形 PDCE 对角互补,故 PDCE 四点共圆,如图 2。

∠EOD=2∠ECD=120°,故 ED= 3R,要使得 DE最小则要使圆的半径 R最小,故直径 PC

最小,当 CP⊥AB时,PC最短为3 3,故 R=3 32

,故 DE= 3 3 93 32 2

R   

3.如图,正方形 ABCD绕点 A逆时针旋转到正方形 APQR,连接 CQ,延长 BP交于 CQ于点 E,求证:E是线段 CQ的中点

简答:因为 AC=AQ,AB=AP且∠BAP=∠CAQ(旋转角相等)故△APB∽△AQC,故∠ABP=∠ACQ又因为∠1=∠2,故 A、B、C、E四点共圆(如图 2),因为∠ABC=90°,故 AC是直径,故∠AEC=90°,又因为 AQ=AC,所以 AE垂直且平分 QC(三线合一)4.如图 1,已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形,取 AC的中点 E,△ABC 绕 E点旋转任意角度得到△GMN,直线 BN、GC 相交于点 H。△GMN 绕点 E旋转的过程中,线段 AH的最大值是?

简答:因为 EB=EN(分别是△ABC、△GMN的高),EC=EG,且∠GEC=∠NEB(旋转角相等),故△GEC∽△NEB,故∠GCE=∠EBH(前面相似主要目的是为了得到此处角相等,故不一定要说明相似,用内角和说明角相等亦可),又因为∠GCE ∠ECH=180°,所以∠EBH ∠ECH=180°,故 E、B、H、C四点共圆,因为∠BEC=90°,所以 BC为直径,圆

心 O是 BC中点,R=2,当 A、O、H三点共线时,AH长度最大,AH=AO OH= 2 3 2

思考题:如图,点 D为∠ABC 的一遍 BC 上一丁点,且 BD=5,线段 PQ在∠ABC 另一边

AB上移动,且 PQ=2,若 siNB=35,则当∠PDQ达到最大值时,PD的长为?

简单:当 DH垂直平分 PQ时,∠PDQ最大,答案:PD= 10 (wHy?自行思考)

欢迎大家扫码关注我的微信公众号"小段说数学"

,