大桶能盛水11kg，小桶能盛水4kg，怎样盛出5kg？
2019年2月11日星期一
一题目见于人教版《数学》五年级上册第10页，图如下：
人教五数上册10页
整理成文字版：
“
有两个水桶，小水桶能盛水4kg，大水桶能盛水11kg。不用秤称，应该怎样使用这两个水桶盛出5kg水来？
”
大小水桶示意
人教版《数学》五年级上册、下册的目录如下图：
人教五数上册封面
人教五数下册封面
提醒读者注意两点：
1.该题安排于上册第一章学习完“小数乘整数”、“小数乘小数”之后；
2.“最大公因数”、“最小公倍数”的学习在下册第二章。
一个耸人视听的结论：
如此安排，是奔着简单化的方向去了，因此造成了“思考题”资源的浪费。
对于如此经典的小题目，您肯定会抱着“不屑”的态度点开的，因为我和大多数人一样，在一开始对待这道题目时，目标是这样的：
找出一个盛水方案，并以盛水次数最少为荣。
这样的目标让我们轻松获得了小小的满足感，并进而被“满足感”所蒙蔽。
现在，我设定的解题目标是这样的：
1.寻找整齐划一、机械简单、普遍适应的盛水方法，谋求用清晰的算式表达盛水过程，为进一步“计算机编程模拟”提供简明的规则；
2.探寻“大、小桶容量”与所有“可盛水结果”之间的关系，针对一般的容量x、y得出普遍的结论；
3.不以“盛水次数最少”为目标，以澄清数理关系为核心。
这似乎是一些“高、大、上”的目标，然而并不是“小目标”，您懂的。
二设：
大桶容量为x，小桶容量为y。（单位可以忽略，选kg或l实则无关问题本质）
所有可盛水结果个数为n。
若：x＝11，y＝4，则：n＝15。
您或许对此容易理解，可盛水结果是：
｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15｝
又或者您对此持怀疑态度，请接着往下看。
若：x＝10，y＝8，则：n＝9。
可盛水结果是：
｛2，4，6，8，10，12，14，16，18｝
您或许大为奇怪，好在数字小，可以纸笔验证一番。
我曾经轻飘飘地讲过一个结论：若大、小桶容量都是偶数，则无论如何是盛不出一个奇数结果的。令人遗憾的是，彼时学生连“奇数、偶数、因数、倍数……”等都没有学习，我一度怀疑这道题放错地方了。
（重要程度★★★）
若：x＝135，y＝72，则：n＝23。
可盛水结果是：
｛9，18，27，36，45，……，198，207｝
随着数字的增大，用罗列的方法会很费劲。我们应当着力于寻找规律上。
规律如下：
盛水问题的一般规律
其中：（x，y）表示x和y的最大公因数。类似地，［x，y］表示x和y的最小公倍数。详细可见我早期图文：《最大公因数的二三事》。
用文字版描述规律是：用容量为x、y（x∈N，y∈N，x＞y＞0）的容器盛水，可盛水结果的最小单位是：（x，y），盛水实验的循环周期是：［x，y］，可盛水结果依次为（x，y）的不超过x＋y的倍数，最大倍数k为可盛水结果个数。
（重要程度★★★★★）
屡试不爽。
三来点实在的：用算式表达盛水实验过程。
实验周期：从大、小桶水量为0开始，至大、小桶水量再次为0结束。
实验规则：
①大桶只接受外界倒入，小桶只接受大桶倒入，只有小桶可向外界倒出。
简要描述为：外界→大桶→小桶→外界
②大桶空时即添满，小桶满时即倒出。
（重要程度★★★★★）
实验过程：
⑴11－4＝7
⑵7－4＝3
⑶11＋3－4＝10
⑷10－4＝6
⑸6－4＝2
⑹11＋2－4＝9
⑺9－4＝5
⑻5－4＝1
⑼11＋1－4＝8
⑽8－4＝4
⑾4－4＝0，此时大小桶均已倒空，若要循环实验则又回到算式⑴。
算式说明：
①“差”表示大桶剩余；
②“减数（－4）”表示小桶向外界倒出；
③“被减数”中的加数表示外界向大桶倒入、上次大桶剩余；
④为简化算式、突出主要规律（盛水实验的周期性），算式左边不再细分大桶向小桶中转水量的次数。按理来说，算式左边的“加数、减数”与“盛水次数”之间一一对应，比如算式⑶，应当为：3＋10＋1－4＝10，表示将大桶中不足小桶容量的3kg水暂存小桶、从外界倒入大桶11kg、从大桶倒入小桶1kg，从小桶向外界倒出4kg，共计4次，对应4个加、减数。类似的还有：⑴7＋4－4＝7，⑹2＋9＋2－4＝9，⑼1＋8＋3－4＝8（再次说明：算式⑴共有3个加减数，对应：向大桶倒入11kg、大桶向小桶倒入4kg、小桶倒出4kg）。为了下文引用的方便，将这四个新算式命名为：“分解算式”。
实验结论：
1.大桶剩余依次是：｛7，3，10，6，2，9，5，1，8，4，0｝，有11种结果；大桶在一个实验周期内共倒入4次，合并小桶暂存水量，有4种结果：｛11，11＋3，11＋2，11＋1｝；以11＋4替换无意义的0，共计15种可盛水结果。最小可盛水结果：1＝（11，4），其余可盛水结果为（11，4）的不超过11＋4的倍数。可见，若x、y是互质数，则可盛水结果为：1～（x＋y）。
2.一个实验周期内使用的总水量是：［11，4］＝44，水量出入遵循以下守恒：
大桶倒入总水量＝大桶倒出总水量＝小桶倒入总水量＝小桶倒出总水量 （等式A）
大桶容量×大桶倒入次数＝小桶容量×小桶倒出次数 （等式B）
11×4＝4×11
3.如何根据算式计数盛水次数？
目标结果：5，在第⑺个算式。
只观察算式⑴～⑺等号左边部分：
7个“－4”表示小桶向外界倒出7次；
算式⑴～⑺中加数总个数为12（以分解算式为准），包含从外界向大桶内倒入3次（算式⑴⑶⑹，还有一次在算式⑼中，与目标结果无关），从大桶向小桶倒入9次。
盛水次数共计19次。
计数盛水次数的一个简单方法是：数一数截止目标结果出现时，所有算式等号左边一共有多少个“加数”和“减数”，即为总盛水次数，且须以“分解算式”为准（注意：最后一步仍然要满足“小桶满时即倒出”的规则，即算式⑺中的“－4”要计算在内）。
或许大家所熟悉的“最优盛水方案”是：
向小桶内倒入3次，转存大桶内3次；
大桶满倒出1次，小桶内剩余1kg转存大桶1次；
向小桶内倒入1次，转存大桶内1次，合并得大桶内5kg。
盛水次数共计10次。
这个“最优盛水方案”的盛水次序恰好与本文实验规则①相反：
外界→小桶→大桶→外界
从下至上对应于算式⑾～⑻等号左边的“加数”和“减数”的总个数（算式⑼以分解算式为准）。
对比验证如下图：
盛水次序对比验证表
（重要程度★★★★）
四用算式表达盛水实验过程的正确性，关键在于将每一次盛水对应为数量的加或减。然而，总盛水次数中，大桶倒入次数、小桶倒出次数的规律是显然的（见等式B），大桶到小桶的中转次数却比较烦琐，因为当大桶中转小桶的水量小于小桶容量时，还要中转第二次，才能满足“小桶满时即倒出”的规则。这是问题的难点所在。
有了上文通过“盛水次数”对“算式表达盛水实验过程正确性”的验证后，我们便可以放心大胆地甩开膀子，尽情测试多种盛水实验周期、分析可盛水结果了。
以x＝10，y＝8为例：
⑴10－8＝2
⑵10＋2－8＝4
⑶10＋4－8＝6
⑷10＋6－8＝8
⑸8－8＝0
大桶共倒入：10×4＝40
小桶共倒出：8×5＝40
盛水实验周期：［10，8］＝40
可盛水结果：｛2，4，6，8，0，10，10＋2，10＋4，10＋6｝
用最大可盛水结果10＋8替换0并排序得：｛2，4，6，8，10，12，14，16，18｝
可盛水结果的最小单位：2＝（10，8）
可盛水结果数满足：（10＋8）÷（10，8）＝18÷2＝9（个）
文中例“x＝135，y＝72”，就交给有兴趣的读者了。
五我总感觉：这道人教版教材的题应当放在五年级下册第二章“因数与倍数”之后。
痴言癫语，一吐为快。
再会。
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