大桶能盛水11kg,小桶能盛水4kg,怎样盛出5kg?

  2019年2月11日星期一

  题目见于人教版《数学》五年级上册第10页,图如下:

两个水桶怎么能盛出5kg水(大桶能盛水11kg小桶能盛水4kg)(1)

人教五数上册10页

  整理成文字版:

  “

  有两个水桶,小水桶能盛水4kg,大水桶能盛水11kg。不用秤称,应该怎样使用这两个水桶盛出5kg水来?

  ”

两个水桶怎么能盛出5kg水(大桶能盛水11kg小桶能盛水4kg)(2)

大小水桶示意

  人教版《数学》五年级上册、下册的目录如下图:

两个水桶怎么能盛出5kg水(大桶能盛水11kg小桶能盛水4kg)(3)

人教五数上册封面

两个水桶怎么能盛出5kg水(大桶能盛水11kg小桶能盛水4kg)(4)

人教五数下册封面

  提醒读者注意两点:

  1.该题安排于上册第一章学习完“小数乘整数”、“小数乘小数”之后;

  2.“最大公因数”、“最小公倍数”的学习在下册第二章。

  一个耸人视听的结论:

  如此安排,是奔着简单化的方向去了,因此造成了“思考题”资源的浪费。

  对于如此经典的小题目,您肯定会抱着“不屑”的态度点开的,因为我和大多数人一样,在一开始对待这道题目时,目标是这样的:

  找出一个盛水方案,并以盛水次数最少为荣。

  这样的目标让我们轻松获得了小小的满足感,并进而被“满足感”所蒙蔽。

  现在,我设定的解题目标是这样的:

  1.寻找整齐划一、机械简单、普遍适应的盛水方法,谋求用清晰的算式表达盛水过程,为进一步“计算机编程模拟”提供简明的规则;

  2.探寻“大、小桶容量”与所有“可盛水结果”之间的关系,针对一般的容量x、y得出普遍的结论;

  3.不以“盛水次数最少”为目标,以澄清数理关系为核心。

  这似乎是一些“高、大、上”的目标,然而并不是“小目标”,您懂的。

  设:

  大桶容量为x,小桶容量为y。(单位可以忽略,选kg或l实则无关问题本质)

  所有可盛水结果个数为n。

  若:x=11,y=4,则:n=15。

  您或许对此容易理解,可盛水结果是:

  {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}

  又或者您对此持怀疑态度,请接着往下看。

  若:x=10,y=8,则:n=9。

  可盛水结果是:

  {2,4,6,8,10,12,14,16,18}

  您或许大为奇怪,好在数字小,可以纸笔验证一番。

  我曾经轻飘飘地讲过一个结论:若大、小桶容量都是偶数,则无论如何是盛不出一个奇数结果的。令人遗憾的是,彼时学生连“奇数、偶数、因数、倍数……”等都没有学习,我一度怀疑这道题放错地方了。

  (重要程度★★★)

  若:x=135,y=72,则:n=23。

  可盛水结果是:

  {9,18,27,36,45,……,198,207}

  随着数字的增大,用罗列的方法会很费劲。我们应当着力于寻找规律上。

  规律如下:

两个水桶怎么能盛出5kg水(大桶能盛水11kg小桶能盛水4kg)(5)

盛水问题的一般规律

  其中:(x,y)表示x和y的最大公因数。类似地,[x,y]表示x和y的最小公倍数。详细可见我早期图文:《最大公因数的二三事》。

  用文字版描述规律是:用容量为x、y(x∈N,y∈N,x>y>0)的容器盛水,可盛水结果的最小单位是:(x,y),盛水实验的循环周期是:[x,y],可盛水结果依次为(x,y)的不超过x+y的倍数,最大倍数k为可盛水结果个数。

  (重要程度★★★★★)

  屡试不爽。

  来点实在的:用算式表达盛水实验过程。

  实验周期:从大、小桶水量为0开始,至大、小桶水量再次为0结束。

  实验规则:

  ①大桶只接受外界倒入,小桶只接受大桶倒入,只有小桶可向外界倒出。

  简要描述为:外界→大桶→小桶→外界

  ②大桶空时即添满,小桶满时即倒出。

  (重要程度★★★★★)

  实验过程:

  ⑴11-4=7

  ⑵7-4=3

  ⑶11+3-4=10

  ⑷10-4=6

  ⑸6-4=2

  ⑹11+2-4=9

  ⑺9-4=5

  ⑻5-4=1

  ⑼11+1-4=8

  ⑽8-4=4

  ⑾4-4=0,此时大小桶均已倒空,若要循环实验则又回到算式⑴。

  算式说明:

  ①“差”表示大桶剩余;

  ②“减数(-4)”表示小桶向外界倒出;

  ③“被减数”中的加数表示外界向大桶倒入、上次大桶剩余;

  ④为简化算式、突出主要规律(盛水实验的周期性),算式左边不再细分大桶向小桶中转水量的次数。按理来说,算式左边的“加数、减数”与“盛水次数”之间一一对应,比如算式⑶,应当为:3+10+1-4=10,表示将大桶中不足小桶容量的3kg水暂存小桶、从外界倒入大桶11kg、从大桶倒入小桶1kg,从小桶向外界倒出4kg,共计4次,对应4个加、减数。类似的还有:⑴7+4-4=7,⑹2+9+2-4=9,⑼1+8+3-4=8(再次说明:算式⑴共有3个加减数,对应:向大桶倒入11kg、大桶向小桶倒入4kg、小桶倒出4kg)。为了下文引用的方便,将这四个新算式命名为:“分解算式”。

  实验结论:

  1.大桶剩余依次是:{7,3,10,6,2,9,5,1,8,4,0},有11种结果;大桶在一个实验周期内共倒入4次,合并小桶暂存水量,有4种结果:{11,11+3,11+2,11+1};以11+4替换无意义的0,共计15种可盛水结果。最小可盛水结果:1=(11,4),其余可盛水结果为(11,4)的不超过11+4的倍数。可见,若x、y是互质数,则可盛水结果为:1~(x+y)。

  2.一个实验周期内使用的总水量是:[11,4]=44,水量出入遵循以下守恒:

  大桶倒入总水量=大桶倒出总水量=小桶倒入总水量=小桶倒出总水量 (等式A)

  大桶容量×大桶倒入次数=小桶容量×小桶倒出次数 (等式B)

  11×4=4×11

  3.如何根据算式计数盛水次数?

  目标结果:5,在第⑺个算式。

  只观察算式⑴~⑺等号左边部分:

  7个“-4”表示小桶向外界倒出7次;

  算式⑴~⑺中加数总个数为12(以分解算式为准),包含从外界向大桶内倒入3次(算式⑴⑶⑹,还有一次在算式⑼中,与目标结果无关),从大桶向小桶倒入9次。

  盛水次数共计19次。

  计数盛水次数的一个简单方法是:数一数截止目标结果出现时,所有算式等号左边一共有多少个“加数”和“减数”,即为总盛水次数,且须以“分解算式”为准(注意:最后一步仍然要满足“小桶满时即倒出”的规则,即算式⑺中的“-4”要计算在内)。

  或许大家所熟悉的“最优盛水方案”是:

  向小桶内倒入3次,转存大桶内3次;

  大桶满倒出1次,小桶内剩余1kg转存大桶1次;

  向小桶内倒入1次,转存大桶内1次,合并得大桶内5kg。

  盛水次数共计10次。

  这个“最优盛水方案”的盛水次序恰好与本文实验规则①相反:

  外界→小桶→大桶→外界

  从下至上对应于算式⑾~⑻等号左边的“加数”和“减数”的总个数(算式⑼以分解算式为准)。

  对比验证如下图:

两个水桶怎么能盛出5kg水(大桶能盛水11kg小桶能盛水4kg)(6)

盛水次序对比验证表

  (重要程度★★★★)

  用算式表达盛水实验过程的正确性,关键在于将每一次盛水对应为数量的加或减。然而,总盛水次数中,大桶倒入次数、小桶倒出次数的规律是显然的(见等式B),大桶到小桶的中转次数却比较烦琐,因为当大桶中转小桶的水量小于小桶容量时,还要中转第二次,才能满足“小桶满时即倒出”的规则。这是问题的难点所在。

  有了上文通过“盛水次数”对“算式表达盛水实验过程正确性”的验证后,我们便可以放心大胆地甩开膀子,尽情测试多种盛水实验周期、分析可盛水结果了。

  以x=10,y=8为例:

  ⑴10-8=2

  ⑵10+2-8=4

  ⑶10+4-8=6

  ⑷10+6-8=8

  ⑸8-8=0

  大桶共倒入:10×4=40

  小桶共倒出:8×5=40

  盛水实验周期:[10,8]=40

  可盛水结果:{2,4,6,8,0,10,10+2,10+4,10+6}

  用最大可盛水结果10+8替换0并排序得:{2,4,6,8,10,12,14,16,18}

  可盛水结果的最小单位:2=(10,8)

  可盛水结果数满足:(10+8)÷(10,8)=18÷2=9(个)

  文中例“x=135,y=72”,就交给有兴趣的读者了。

  我总感觉:这道人教版教材的题应当放在五年级下册第二章“因数与倍数”之后。

  痴言癫语,一吐为快。

  再会。

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