老黄这次要分享的这道高等数学利用洛必达法则解不定式极限的例题，解题过程中会出现好几次转换，而且转换的方向可能不只一种，如果选错了方向，就有可能走进死胡同。不信我们一起来做做看。题目是这样的：
设f(0)=0, f’在原点的某邻域内连续，且f’(0)=0, 证明：lim(x->0 )x^(f(x))=1.
分析：这是一个0的0次方型不定式极限。一般都是利用对数法对它进行转换的。就是取e^ln(原极限)的形式。然后交换"ln"和"lim"的符号位置。这是复合函数求极限的法则运用。从而得到极限e^(lim(x->0 )lnx^f(x)).
我们可以先求e的指数这个极限。先把自然对数中真数的指数前提做自然对数的系数，就得到了一个0乘无穷大型的不定式极限lim(x->0 )f(x)lnx.
解0乘无穷大型不定式极限有两种方法，一种是取0的倒数1/f(x)，得到无穷大比无穷大型的不定式极限lim(x->0 )lnx/(1/f(x))；一种是取无穷大的倒数1/lnx，得到0比0型的不定式极限lim(x->0 )f(x)/(1/lnx)。假如你选择后者的话，这道题就有可能解不出来了。过程如下：
lim(x->0 )f(x)/(1/lnx)=lim(x->0 )f’(x)/(1/(x(lnx)^2)). 这里运用了洛必达法则，发现结果仍是一个0比0型的不定式极限，不过反而变得更复杂了。它既无法直接得到答案，也没办法再继续运用洛必达法则了。因为我们并不能确定f(x)在0的邻域内二阶可导。
所以正确的方法应该选择把它转化成无穷大比无穷大型的不定式极限。然后运用洛必达法则，化简可以得到极限-lim(x->0 )(f(x))^2/(xf'(x)). 这里有一点非常关键。因为f'(0)=lim(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim(h->0)f(h)/h，所以lim(x->0)f(x)/x=f'(0)=lim(x->0 )f(x)/x, 只是变量由h变成x，不影响导数定义公式的本质。又f'(x)在x=0是连续的，所以f'(0)=limf'(x)，所以上面的极限可以化为-lim(x->0 )f'(x)f(x)/f'(x)=-lim(x->0 )f(x)=f(0)=0.
再把这个极限的结果代入e的指数，就可以证明原极限等于1了。下面组织解题过程：
解：因为u=im(x->0 )lnx^f(x)=lim(x->0 )f(x)lnx=lim(x->0 )lnx/(1/f(x))
=-lim(x->0 )(1/x)/(f'(x)/(f(x))^2)=-lim(x->0 )(f(x))^2/(xf'(x))
=-lim(x->0 )f'(x)f(x)/f'(x)=-lim(x->0 )f(x)=f(0)=0.
所以lim(x->0 )x^(f(x))=e^u=e^0=1.
大家觉得这道题和这个解法怎么样呢？欢迎在评论区中留下您的看法！
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