古希腊三大几何难题，数千年来一直吸引着无数的人们为之痴迷。
这三大难题都要求仅用尺规作图完成，分别是：
1、 倍立方体：作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。
2、 化圆为方：作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。
3、 三等分角：分一个给定的任意角为三个相等的部分。
经过2000多年的努力，人们终于认识到这3个难题是没有解的。然而直至今日，依然不断有人宣称自己破解了某个难题，甚至正规媒体也有报道。
他们的逻辑是：你说不可能，可是我已经做到了，你若不相信，请指出我的错误，我甚至可以悬赏挑毛病。这种逻辑显然是不正确的，比如永动机已经被证明是不可能的，而某人宣称自己造出来了，别人没有必要帮他检查问题所在，他自己首先应该去证明能量守恒原理是错误的。
回到三大几何难题，要弄清楚为什么不可能，首先得明白尺规作图的本质。尺规作图能做什么呢？人们发现，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
1、通过两个已知点可作一直线。
2、已知圆心和半径可作一个圆。
3、若两已知直线相交，可求其交点。
4、若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
5、若两已知圆相交，可求其交点。
这5种方法，不严谨地、通俗一点讲，从解析几何的角度看，前面2种相当于在建立直线和圆的方程，后面3种相当于求直线与圆的各种组合的交点坐标。因此，尺规作图对应的任何几何问题，都可以通过解析几何转化为代数问题，所以，一直到笛卡尔建立解析几何体系后，人们才逐渐证明了三大几何难题是无解的。
再具体一点，由于直线方程是一次的，圆的方程是二次的，所以联立方程求解得到的根，都是由有理数通过有限次加、减、乘、除和开方得到的。换言之，任何能够用有理数的有限次加减乘除和开方得到的实数，都可以用尺规作图做出来；同时，尺规作图也仅仅只能做这些事。这就意味着，凡是不能按照上述方法得到的实数，采用尺规作图是无解的。
顺便提一句，目前数学上已经证明了，只使用一只圆规，就可以做出任何尺规作图能够做出的点，但是需要更加复杂的步骤。并且，这只圆规的角度甚至可以是固定不可调整的。
现在我们可以来简单探讨三大几何难题为什么无解了。
1、 倍立方体：若立方体边长为1，其体积自然也是1，体积的2倍就是2，所以这个问题的本质，相当于已知一根长度为1的线段，如何用尺规作图作出长度为2开3次方的线段？1637年，笛卡尔提出了一个命题：非立方有理数的立方根不能简化为有限次的开平方，这意味着，倍立方体问题无法通过尺规作图解决。法国数学家Wantzel在1837年给出了倍立方体问题无解的严格证明。
值得一提的是，二千多年来，经过许多数学家相继研究，人们发现只要不限于尺规作图，运用特殊曲线(如圆锥曲线、蚌线、蔓叶线等)，或是运用其它作图工具，倍立方体问题是不难解决的。
2、 化圆为方：我们知道，若圆的半径为1，则其面积为π，对应正方形的边长为根号π，本质上相当于作出长度为π的线段。然而，能够用尺规作出的数都有对应的最小多项式。也就是说，能够用尺规作出的数，必须是某个有理系数多项式方程的根。1882年，林德曼等人证明了对于π来说，这样的多项式不存在。这就证明了，化圆为方问题采用尺规作图是无解的。数学家将这样的数称为超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。
有趣的是，要证明一个数是超越数十分困难，目前，圆周率π和自然对数的底e都已被证明是超越数。同时，若放宽条件，这个问题可以通过特殊曲线来完成，例如西皮阿斯割圆曲线，阿基米德螺线等。
3、三等分角：根据三角函数公式，我们不难得出
因此，若将α/3看作未知数，把cosα看作已知常数，这是一个三次方程，它的根不可能用二次根式来表达。所以，三等分角问题采用尺规作图同样是无解的。
与倍立方体问题类似，如果我们放宽条件，例如允许使用带刻度的直尺，则可以将任意角三等分。
古希腊三大几何难题，是数学史上璀璨的明珠，很难找到与这三个问题一样具有经久不衰魅力的例子了。尺规作图看似是一个纯几何问题，最终却是用代数的方法来解决的，这正是数形结合的一个完美典范。
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