- Hello，这里是魔法君。
如果要我选一个主题，它不仅让线性代数的其他内容一目了然，又经常被初次学习线性代数的人忽视。我会选择这个——线性变换的概念以及它和矩阵的关系。
今天，魔法君只会集中讲解这些变换在二维空间中长什么样，以及它们如何与矩阵向量乘法关联，怎样可以用一种方法不死记硬背地考虑矩阵向量乘法。
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首先，我们先来解析“线性变换（Linear transformation）”这个术语。
“变换（transformation）”本质上是“函数（function）”的一种花哨的说法。它接收输入内容，并输出对应结果。特别的，在线性代数的情况下，我们考虑的是接收一个向量并且输出一个向量的变换。
“变换”
既然“变换”和“函数”的意义相同，为什么还要使用前者而不是后者？
因为使用“变换”是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系。一种理解“向量的函数”的方法是使用运动。
如果一个变换接收一个向量并输出一个向量，我们想象这个输入向量移动到输出向量的位置。
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接下来，要理解整个变换，我们可以想象每一个输入向量都移动到对应输出向量的位置。因为将向量看作箭头时，同时考虑所有二维向量会变得非常拥挤。
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所以魔法君这里告诉大家一个好技巧：将每一个向量看作它的终点，而不是一个箭头。用这种方法考虑所有输入向量都移动到对应输出向量的位置时，我们只用看空间中的所有点移动到其他点的位置。
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二维变换这种情况下，为了更好地体会整个空间形状上的改变，我喜欢对无限网格上的所有点同时做变换。我有时也喜欢在背景中保留原始网格的副本，以便追踪终点与起点的相对关系。
你不得不承认，各种各样对空间的变换所产生的效果是很美妙的，它们能给你一种挤压和变形空间的感觉。你也能想象到，任意一个变换可以非常复杂。
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但幸运的是，线性代数限制在一种特殊类型的变换上，这种变换更容易理解，称为“线性变换（Linear transformation）”。
直观的说，如果一个变换具有以下两条性质，我们就称它是线性的。
一是直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲；
二是原点必须保持固定。
举几个例子，现在所示的这个变换不是线性变换。
因为直线变得弯曲了。
“弯曲了”
而对于这一个变换，即便保持直线平直，它也不是一个线性变换。
因为它移动了原点的位置（但它是仿射变换Affine Transformation）。
“原点移动了”
这一个变换保持原点不动，乍一看它好像保持直线平直。但实际并非如此，因为我只给你展示了水平和竖直的网格线。当你看看它对一条对角线作用时，很明显它不是一个线性变换。
因为这条线被弯曲了。
“线被弯曲了”
总的来说，你应该把线性变换看作是“保持网格线平行且等距分布”的变换。
部分线性变换很容易思考，比如关于原点的旋转。
其他的稍显复杂，难以言表。
你觉得应该如何用数值去描述这些线性变换呢？比如说，你在通过编程制作动画和视频来教授这一主题，你应该给计算机什么样的计算公式使得你给它一个向量的坐标，它能给你变换后向量的坐标呢？
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实际结果是，你只需要记录两个基向量i帽和j帽变换之后的位置，其他向量都会随之运动。
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比如说，考虑坐标为（-1,2）的向量v，这个向量就是-1与i帽之积和2与j帽之积的和。
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如果我们运用一些变换，并且跟随这三个向量运动。网格线保持平行且等距分布的性质有一个重要的推论。变换后的向量v的位置，是-1与变换后的i帽之积，加上2与变换后的j帽之积。
换句话说，向量v是i帽和j帽的一个特定线性组合，那么变换之后的向量v也是变换后i帽和j帽的同样的线性组合。这意味着，你可以只根据变换后的i帽和j帽，就推断出v变换后的v。
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对于现在所示的变换，我们可以看出i帽落在坐标（1，-2）上，j帽落在x轴上，坐标为（3,0）。也就是说，-1乘以i帽加上2乘以j帽所代表的向量，会落在-1乘以向量（1，-2）加上2乘以向量（3,0）的位置上。
简单运算之后，你就能推断出向量v一定落在向量（5,2）上。
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因为这部分非常重要，所以希望你能够花一点时间仔细思考一下~
实际上，因为我给你展示了整个变换的样子，你完全可以直接读出向量v在变换后落在坐标（5,2）上。但是更炫酷的是，只要记录了变换后的i帽和j帽，我们就可以推断出任意向量在变换之后的位置，完全不必观察变换本身是什么样。
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一般的情况下，一个向量的坐标是（x,y），变换后的这个向量就是x乘以变换后的i帽（1，-2），加上y乘以变换后的j帽（3,0），简单运算之后你就知道它落在坐标（1x 3y,-2x 0y）上。
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运用这个公式，我给你任意一个向量，你就能告诉我它在变换后的位置。
以上的内容是在说，一个二维线性变换仅又四个数字完全确定——变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标。是不是很cool？
在之后的有趣的数学中，魔法君会为大家进一步讲解——矩阵，记得持续关注我们哦~
(部分图片来自网络)
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