《几何难题一则》里面提的问题,确实是错的,这里向大家道歉,并对题目进行分析。
如图,D、E分别在△ABC的边BC、AB上,A、C、D、E四点共圆,∠ACD=2∠CAD,BD=AC,∠ABD=20°,,求证:∠ACE=90°。
其实,这个题目是一个错题,少了一个条件:AB>BC。否则可以构造反例。
首先,将错就错,对原来的错题进行分析:
设∠ACB=2x,那么,∠CAD=x,
经过计算,可以得到,tan∠ABC=(cos(x)-cos(5 x))/(sin(x) 2 sin(3 x)-sin(5 x))=tan(20°),
因为0<x<60°,解上面的方程,可以得到两个解:
x=3.584744335811739226743328924337992990878868113307893832897849704259511071836681453661145034319101006……度
或者
x=50°
明显第一个解是反例啊,图形如下:
但是如果加上AB>BC的话,就不存在这个反例了。
于是,问题修改为:
如图,AB>BC,D、E分别在△ABC的边BC、AB上,A、C、D、E四点共圆,∠ACD=2∠CAD,BD=AC,∠ABD=20°,,求证:∠ACE=90°。
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