数学中的杨氏定理（运用路径扩展法）

注:本论文已获得国家版权若引用部分请注明出处，盗用发表或出版将追究法律责任，我来为大家科普一下关于数学中的杨氏定理?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

数学中的杨氏定理

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运用路径扩展排比法对孪生素数哥德巴赫等素数猜想证明

摘要：将各相关联的素数猜想，转化为同一形式的素数猜想等式组。运用路径扩展排比法，证明求解区间必存在符合条件的素数解。依据大数分解趋利法则，可以简单地以初等数学方法给予证明。

关键词：素数猜想等式组路径扩展排比法大数分解趋利法则

证明：相邻平方数间必存在至少2个或多个素数

运用路径扩展排比法，证明相邻平方间，≥5的素因子，不足以组成6m 1和6m 2路径上的所有数值。故此区间必存在素数。

设大数值的正整数K与2K之间：

存在6个不同的路径：6m 0,6m 1,6m 2,6m 3,6m 4,6m 5；

本文将原本单一的数段，扩展为6个不同的路径。并对各路径中存在 ≥5 的素因子组合数进行排除比较，称之为路径扩展排比法。

分析各路径≥5的素因子组成合数的情况：

6m 2和6m 4这两个路径上，区间合共最多只能存在1个2的N次方偶合数；

6m 3这个路径上，区间内最多也只能存在1个3的N次方奇合数；

无论K取多大数值，这三个路径在K-2K的区间内，合共最多也只能存在2个上述形式的合数；

6m 0这个路径上，区间内由纯2和3组成的偶合数是有限的，并随着K值的增大，间距呈级数式递增。

故而此区间内的这四个路径中，筛除上述形式的组合数后。余下的均是由K以内，≥5的素因子与（2或3）组成的合数。K取值越大，占有率越高！

此区间内，由≥5的素因子组成的合数必然是有限的。由此显见，这些组合数大量聚集在这四个路径上，必然不能组成6m 1和6m 5上的所有数值。故当K达到一定数值后，K与2K间必存在大于K少于2K的素数！

当K取值渐大，将K与2K间的间距缩短，这六个路径的情况仍然遵循上述规律。因K是任意正整数，故K²等价于K。当达到一定大数值后，K²与（K 1）²之间，必将存在至少1个素数。当K取值达到某一更大数值后，将存在更多素数。依次类推.......

故，对于此类与之关联的素数问题，K取值越大，对求解路径存在素数的因素越有利！（本文暂称为大数分解趋利法则，有了这个重要的法则，一系列素数猜想可运用初等数学方法解决）

经公式推算，当K≥4后，相邻平方间均至少存在2个素数。同时，经实际检验：K=1,2,3时也均成立。另外也实际查验K=100以内的数值，也均成立，且区间素数呈渐增趋势！根据大数分解趋利法则，K取更大的数值也必然成立。故，此猜想得证！

公式推算，后文将详述。下文将运用路径扩展排比法和大数分解趋利法则相结合，证明孪生素数猜想和哥德巴赫猜想成立。

将多个关联的素数猜想转化为同一形式的不等式组

孪生素数表达式为：P1 2=P

若P1，P是素数，则：

P1≠2m 0,3m 0,5m 0,7m 0,11m 0.......pm 0

P≠2m 0,3m 0,5m 0,7m 0,11m 0.......pm 0

若令P受限下列条件，可得到：

孪生素数不等式组

P≠2m 0,3m 0,5m 0,7m 0,11m 0.......pm 0

P≠3m 2,5m 2,7m 2,11m 2......pm 2

相邻2K素数不等式组

P≠2m 0,3m 0,5m 0,7m 0,11m 0.......pm 0

P≠3m 2K,5m 2K,7m 2K,11m 2K......pm 2K

哥德巴赫猜想：等于或大于6的偶数N均可分解为两个素数之和

表达式为：N=P P1

将N逐一除以N平方根以下的奇素数（3,5,7,11......Pm）（大于平方根的素数必定是乘以少于平方根的数，相当于重复了，所以无须取用），并得出各自余数：

N=3m a1 5m a2 7m a3 11m a4 pm ap

更直观表达为

N=3m a1=3 3 3 3 3 3 3... a1

N=5m a2=5 5 5 5 5 5 5... a2

N=7m a3=7 7 7 7 7 7 7... a3

N=pm ap=p p p p p p p.... ap

从上面分解后逐一排列的剩余式组，可以直观地看到：若P的取值为3m a1,5m a2,7m a3,11m a4....pm ap形数，则N-P=P1后，与P对应的P1值将都是3,5,7,11....p，或它们的倍数。

反之，若P≠3m a1,5m a2,7m a3,11m a4....pm ap形数，则N-P=P1，P对应的P1值必定不是3,5,7,11....p，或它们的倍数。

若再令P≠2m 0,3m 0,5m 0,7m 0....Pm 0；则P与P1也都必不是3,5,7,11....p，或它们的倍数。其不等式表达为：

哥德巴赫猜想不等式组

P≠2m 0,3m 0,5m 0,7m 0,11m 0.......pm 0 P≠3m a1,5m a2,7m a3,11m a4......pm ap

将上面两组不等式，经整合后合为一组：

P≠2m 0≠,3m {0,a1}≠5m {0，a2}≠7m {0，a3}.......≠Pm {0，ap}

将上述不等式组转化后，可整合得到同一形式的等式组：

P=2m 1=3m {0,1,2筛去0和a1}=5m {0,1,2,3,4筛去0和a2} =7m {0,1,2,3,4,5,6筛去0和a3}...Pm {0,1,2,3...P-1筛去0和aP}。

孪生素数，2K素数，哥巴猜想等同一形式的等式组（简称素数猜想等式组）

注：

如P=2m 1=3m 1=5m {1,3,4}，其组合数为1,13,19,31,43,49....

亦即表示P≠2m 0≠3m {0,2}≠5m {0,2}。13和19是5与5²之间的2个解，所以13,11|19,17各组成一对孪生素数。

本文将2m，3m，5m.....Pm称之为节点；2,3,5,7,11.....依次代表由小到大的素数；m代表倍数，不同节点可取不同的非负整数倍数。下同）

至此可见，这些关联猜想的不等式组和等式组，都是同一形式的式组。不同的是a1,a2,a3.....ap在哥德巴赫猜想中，是各节点的余数；在孪生素数猜想中都等于2，在相邻2K的素数猜想中都等于2K。

去猜想化：由各猜想转化成素数猜想等式组后，证明的重点是a1,a2.....ap取不同数值的情况下，符合条件的求解区间，是否存在猜想中所要的解的数量。这个问题得证，则与之关联的猜想成立。所以本文将主要围绕式组进行论证。去猜想化后，这将是一个初等数学方面的问题。为方便论证，下文将以X代替P。

分析完整闭环的组成特性

将2x3x5x7x11.....这类连续递增素数乘积的式，暂时称之为完整闭环。

第一层闭环是：2x3，为更直接表述，称之为闭环3；

闭环5是：2x3x5（由5个闭环3组成）；

闭环7是：2x3x5x7（由7个闭环5组成）；

闭环7乘以下一个素数Pm，组成闭环Pm................以此类推。

相同连续递增素数乘积的闭环，称之为同一层级闭环。它们首尾相连，形成无限重复的循环数段。多个同一层级的完整小闭环组成大一级的中闭环，多个完整的中闭环组成更大的闭环.........

计算完整闭环中剩余数f（Z）的筛留比率公式

通过下面的筛留公式，可准确无误地计算出各完整闭环内，在2m，3m， 5m.....这些节点上，筛去1个或2个数值后，剩余数的数量。并可以粗略地了解其对各猜想产生的影响。

本文将各节点要筛去的组合数简称为（N），剩余数简称为（Z）。它们的数量分别表示为：f（N），f（Z）。

各节点筛去1个或2个数值的筛留率

筛去个数筛留率

2m {筛去1个} 1/2

3m {,筛去1个或2个} 1/3或2/3

5m {筛去1个或2个} 3/5或4/5

7m {筛去1个或2个} 5/7或6/7

Pm {筛去1个或2个} P-2/P或P-1/P

根据筛留率可准确无误地计算出各完整闭环f（Z）

各节点都筛去1个数值的f（Z）：

f（Z）=（2-1）*（3-1）*（5-1）*（7-1）.....*(ap-1)

2m节点筛去1个数值，其余节点筛去2个数值的f（Z）：

f（Z）=（2-1）*（3-2）*（5-2）*（7-2）.....*(ap-2)

其它情况，可根据筛留率，均可计算其在完整闭环内的f（Z）；

从上面的过程和结果可知：

1. 在筛除条件相同的情况下，各同层级的完整闭环的f（Z），都分别是相等的。它们首尾相连，形成无限重复的循环数段（定理一）。

2. 素因子越小的节点，对筛留公式的f（Z）影响越大（定理二）。

了解闭环的这些特性，尤其是通过筛留公式，可以准确地计算出某层级完整闭环的f（Z），暂时不需要在重叠问题上作过多思考。

证明：当达到某数值后，Pm与2Pm间必存在至少2对孪生素数。

运用路径扩展排比法，将2m,3m这个两个节点的限制解除，便可扩展到6个不同的路径：6m 0,6m 1,6m 2,6m 3,6m 4,6m 5；

若Pm大于5，即筛去5m {0，2}.....Pm {0，2}。

先分析Pm-2Pm之间的奇数部分情况：

在6m 3这个路径上，如若能留下的剩余数（Z），将一定不是5m {0,2}......Pm{0,2} 所组合成的数值。所以只能由纯3数值组成，亦即3的N方数。这些数成次方式递增，后面的间距将越来越大。在Pm与2Pm之间，最多不超过1个。无论Pm的值多大，都是这样！

6m 5=（6m 3） 2，所以也会随之被筛去。这个路径上，如若能留下的剩余数（Z），也一定不是5m {0,2}......Pm{0,2} 所组合成的数值，且最大不超过1个。无论Pm的值多大，都是这样！

所以，在Pm与2Pm的区间内：6m 3和6m 5这两个路径，各自的f（Z），最多只能是1个，合共2个！

再分析偶数部分：

同理，此区间6m 2和6m 4这两个路径，也只有2的N次方数才有可能留下。因Pm与2Pm之间最多只能有1个2的N次方偶数，故这两个路径总共也不会超过1个（Z）。

6m 0这路径，因为6m 0=6m 6=（6m 4） 2，所以也只能当6m 4是2的N次方数才能留下1个（Z）！

故此区间内的这5个路径，总的f（Z）最多也只能有4个！

无论Pm取多大的数值，在Pm与2Pm之间，这5个路径的f（Z），最多不超过4个！即5m {0,2}，7m {0,2}，11m {0,2}.....的组合数，绝大多数都聚集在这5个路径上。根据抽屉原理，这些有限的组合数，越大比例地聚集在这5条路径上，则造成余下6m 1路径的空缺越多！

所以，当Pm达到一定数值后，在Pm与2Pm之间，6m 1这个路径的f（Z）总是优先占据多数的！也就是说，此区间内存在孪生素数是必然的！

若以大闭环平均的筛留比率（后文会补充说明）进行推算，当Pm取11时：

1/2*1/3*3/5*5/7*9/11=0.05844

设f（X）=2 2/0.058=34 求得：K=34

注：若Pm取7，因为数值过小，推算结果将出现虚高。故此猜想中取11作为最小推算值。

即：K取等于大于34的任意整数，K与2K之间必存在至少2对孪生素数。

经对实际查验，当K等于大于31后，K与2K间均存在至少2对孪生素数。并对K取10000以内的数值进行查验，全部都成立，且f（X）呈渐增趋势！根据大数分解趋利法则，N取更大的数值也必然成立。故，孪生素数猜想成立！

结论：K取等于或大于31后，K-2K间必存在2对孪生素数。

本文将上面的推算公式简称为筛留公式。对于其它相邻2K素数，即a1....ap等于2K值，也可根据上述论证确定不同的Pm值（略）。

哥德巴赫猜想，2-2P之间必存在1个解（P为求解值N的平方根内最大素数）

哥巴猜想中的a1....ap是任意值，这跟孪生素数a1.....ap值都等于2有相同处也有不同处（简述）。

根据路径扩展排比法，将2m和3m节点解除，在Pm与2Pm之间探讨：

6m 2和6m 4,6m 3这3个路径，同样都必须是2（或3）的N次方数才有可能留下。所以这三个路径的f（Z）总共最多不会超过2个！

6m 0这条路径，也只能是纯2和3组合成的数才有可能留下，随着数值增大间距也会越来越大。

在大数值区间内，6m 1与6m 5这两个路径的f（Z）会相对比较接近平均（暂时忽略误差不计，后文会补充说明）。所以这两个路径的f（Z），也总是能优先占据此区间的多数。

与孪生素数猜想不同之处，在哥德巴赫猜想中，Pm及Pm以内的奇素因子，也可列入在实际解组中，故将其取值范围扩展至2-2Pm。

N取大于3²，最小数值10=3m 1 故X≠2m 0≠3m 0≠3m 1。在2与3²间的数值：3*3-2-1=6。

故根据筛留公式推算：

f（X）=1/2*1/3*6=1 等式组合求得的解是：5

实际的解组是：5 5=10 3 7=10。

经验算N取6=3 3,8=3 5。其中3在2与2*2之间，均符合要求。并对N取10000以内的数值进行查验，全部皆成立！且f（X）呈渐增趋势！根据大数分解趋利法则，N取更大的数值也必然成立。故，哥德巴赫猜想成立！

结论：在哥德巴赫猜想中，求解合数N的平方根内最大的素数P，在2-2P之间必存在1个解！

另外，对于N含有3素因子的情况下，估计在达到一定的大数值下，其解中必可以组成至少一对孪生素数（这个想法也可运用公式进行推算，略）。

证明：相邻平方数间必存在至少2个或多个素数

本文开篇已证明此猜想成立，故略。

根据筛留公式推算：1/2*2/3*4/5*=0.26666

设f（X）=2 2/0.2666=7.5 5²-4²-1=8 大于7.5 即K=4

证明：K²与（K² K）之间必存在至少1个或多个素数（1除外）

证明过程跟相邻平方间存在素数猜想一致，故略。

根据筛留公式推算：1/2*2/3*4/5*=0.26666

设f（X）=1 1/0.2666=3.75 （5² 5)-5²-1=4，大于3.75 即K=5

经公式推算，当K≥5后，5²与（5² 5）间存在29这个素数。经实际查验，K=2，3，4时也均成立。另外也实际查验K=100以内的数值也均成立，且f（X）呈渐增趋势。根据大数分解趋利法则，K取更大的数值也必然成立。故，该猜想也成立！

论证：素数间的最大间距的趋向性

根据大数分解趋利法则，当P越大时，P与2P之间，6m {0,2,3,4}这4个路径，占据由P以下≥5 的素因子组合数（N）的份额越高。也就说，会造成6m 1和6m 5这两个路径的空位越多。也即大于P少于2P区间的素数数量越多！

若设一个点P2在P与2P之间，P2代表P之后的素数：根据大数分解趋利法则，P所处的层级越大，（P与P2点之间的间距）与P的比例：（P2-P）/P的比值将渐趋小。即在宏观层面上，素数间的最大间距，与素数大小成反比。

在小数值下，会因为某些特殊的情况，存在个别的例外。但在大数值下，两素数的间距比例将逐渐趋小。故而，在P与（P P的平方根内），或P与（P P的N次方根内）.....只要数值足够大，以上猜想均能成立。

至此，上述猜想均证明成立！运用路径扩展排比法和大数分解趋利法则，简单明了地给出了证明的过程。

下文将以传统的方法，简单论证素数猜想等式组中，a1,a2.....ap取任意非负整数值时，pm与pm²间都至少存在1个解。若此证明成立：

则哥德巴赫，孪生素数，2K素数等众多素数猜想均成立。

附：

对于哥德巴赫猜想，因N的取值决定a1，a2，a3......ap的数值，故能证明式组中，筛去0和任意a1...ap值都成立时，也反证了N取所有大于或等于6的偶数都成立；

对于间距为任意2K的素数，若2K取大值，则Pm值也可取足够大的数值。因Pm值可以取无限大，故证明当达到此某一Pm值后，式组均有解的情况下，也能证明任意相邻2K素数无穷多。

在大数范围下，保底闭环的功能和特性。

一个大的完整闭环，是由众多中小闭环所组成。当Pm取值较大时，1-Pm²段内，必定会包含着一个或多个完整的中小闭环。随着Pm取值不断增大，其包含的闭环层级也将增大。本文将这些闭环称之为保底闭环。

以Pm取179为例，在1-179²之间，包含着一个完整的保底闭环13。若以闭环13为一个分区，即1-30030。大闭环179可分为179...*19*17个相同数值的分区。

据前文所知，各区间保底闭环13的f(Z)是相等的。小因子节点部分，相比大因子节点部分，对区间总的剩余数数量影响更大。这免去了在小因子部分重叠的烦恼，也确保小因子部分互筛后的f（Z）相同。在这个基础上，将第一区间与其它区间进行分析比较：

若假设第一区间f（Z）=0的话，将会引发179*...19*17个与之相应的区段，出现f（Z）数量下沉的情况。因大闭环总的f（Z）是恒定不变的，这必然需要某少数区间的f（Z）大幅度上升，造成第一区间与这些区间的f（Z）差距进一步扩大。

素因子越大的节点，对筛留占比的影响越趋微弱。在有了共同保底闭环的基础下，各区间最终的剩余数数量，上下浮动的幅度必然是有限的！

所以，综合上述依据。无论a1....ap取任何值，要使得某一区间的f（Z）数量，远大于第一区间的f（Z）数量，结论是不成立的！

故而，素数猜想式组在Pm与Pm²，不存在解的假设不成立！

对筛留公式取大闭环平均值进行推算的补充说明：

在第一区间，自179 ap后，各大因子的节点逐一与闭环13进行筛除时，只需要从其平方数开始筛起。但余下区间都必须从该区的始端逐一去筛。所以第一区间的f（Z）的占比率，在数理依据上，应高于大闭环平均的占比率。

故前文在各猜想中，筛留公式取大闭环的平均值推算得出的值，经实际验证均能成立，这也佐证了这一依据。并且对大于推算值后相当多的数值，逐一进行实际验证，其区间的解的f（X），随数值增大而呈渐增趋势。故筛留公式取大闭环的平均值是合理和简便的。

运用路径扩展法，可以更直观地得以证明式组必存在解。

把2m和3m的节点解除限制。从原来只能感观到单一路径的f（Z），将会扩展成6个不同路径，这6个路径分别是：6m 0,6m 1,6m 2,6m 3,6m 4,6m 5；

以a1....ap都等于2为例，列举闭环7以内，筛去5m {0,2}，7m {0,2}后，各路径f（Z）的实际数值：

6m 1=1,13,19,31,43,61,73,103,109,139,151,169,181,193,199 210不断循环6m 3=3,33,39,69,81,99,111,123,129,141,153,159,171,183,201 210不断循环6m 5=11,29,41,53,59,71,83,89,101,113,131,143,173,179,209 210不断循环6m 0=6,18,24,36,48,54,66,78,96,108,138,144,174,186,204 210不断循环6m 2=8,26,38,68,74,104,116,134,146,158,164,176,188,194,206 210不断循环

6m 4=4,34,46,64,76,88,94,106,118,124,136,148,166,178,208 210不断循环

从上面的数值可以看到：这6个路径的数值都是筛去5m {0,2}，7m {0,2} 后剩余的数值。从单一的路径f（Z）=15个，扩展后增加到6*15=90个。

它们各自（Z）的数值不同，但f（Z）相同。它们先后出现的次序不同，但相互呈规律性间距分布，交错增大，不断循环。

依此原理，再回顾前文的举例：原保底闭环13的单一路径f（Z）=（2-1）*（3-2）*（5-2）*（7-2）*（11-2）*（13-2）=1485个，扩展后增加到6*1485个。它们都不是5m {0,a1}....13m {0,a2} 的组合数。

各个节点，无论a..ap值是多少，{17m a与2*17m a}...{Pm ap于2Pm ap}；总是以该节点的素因子为一间距，彼此互素。在第一区间内，它们必须会以乘以（1,2,3,4,5,6）（7,8,9,10,11,12）......这样的次序运算。每6次的运算中，其各自组合成的数值，总是会依次组成6个路径上的不同数值，不断增大，却又重复循环。逐一地与这6个路径的（N）重叠，将各路径的（Z）筛除！故而不用复杂的计算，便能非常直观地感知：

虽然会因起点的次序不同，各路径被筛除的f（Z）不会一致性地相等。但必不可能选择性地将任何一路径的（Z）数值都筛尽！因为若某一路径f（Z）=0，则表示其它路径的f（Z）也不会多！这样的话，相当于第一区间几乎所有的数值，都将由5m {0，a1}.....Pm {0,ap} 组成！

（在6m 1和6m 5这两个路径上，除了≥5的组合数外，则必然是素数。这也解析了前文在哥德巴赫推算中，可以暂时忽略两路径的误差因素）

很显然，在一个大数值的区间内，这必然是不可能的！随着Pm的增大，保底闭环也将随之增大，所以当Pm取大于179后，道理也是一致的！

故而，不用复杂的计算，也能从数理分析上，得以证明此区间必存在解！

附：

因Pm可以无限增大，所以只需因应2K取值的大小，Pm达到一定值后，Pm与Pm²间都必有解。故而相邻2K素数无穷多的猜想也成立。

式组各节点不仅限于筛去0，故可结合分解法求证其它非素数问题。

各节点筛去2个或多个任意值（在可行的情况下），对于连续2K素数，连续孪生素数猜想，均可代入式组给予证明成立与否。因为随着Pm的不断增大，5m，7m......等节点，也可以通过扩展路径法获得更多路径的（Z）和（N）值！扩展后可以很直观地得到证明！

附：ap取值对各猜想的解f（X）的影响（取大数分析）

经上文对路径扩展后的分析可知，各节点间的（N）和（Z）将较为均等地重叠和互筛，虽然实际上肯定不会均等一致。但对于数值越大，节点越多的闭环，会越趋向平均。其各区间的筛留率也会与完整闭环渐近。

依此，可以通过筛留公式，简便地估算出区间内剩余数的数量f（Z）。

在哥德巴赫猜想中要求解的N值，如果是3的倍数和不是3的倍数作比较，若是3的倍数，则3m这个节点只需筛去0即可，也就是乘以2/3。而非3倍数，则乘以1/3，这个节点相差一倍。同理在5m处，是{4/5与3/5}，7m处是{6/7与5/7}.....

故而哥德巴赫猜想，其解的数量f（X）和比例，将受N的取值所含有的奇素数因子大小，和奇素数的数量多与少影响（若有疑问，可取相邻的N值逐一考证，N值越大越准确，此处略）（哥巴猜想估值法则）。

同理，在2K和孪生素数猜想中，在Pm与Pm²间解的数量比例，将受2k的取值所含有的奇素数因子大小，和奇素数的数量多与少影响（2K素数估值法则）。

简单举例（随机）：在13与13平方之间，取2K=2,4,6进行比较：

孪生素数a1，a2，a3，a4均为2，用筛留公式估算：

f（X）=1/2*1/3*3/5*5/7*9/11*155*155≈9.06个若乘上11/13，则f（X）≈8.12

实际：17,19|29,31|41,43|59,61|71,73|101,103|107,109|137,139|149,151 共9个（因13是被筛数，故而11,13不列入实际统计）

4生素数即P1-P2=4， 3m {筛去0，1}，5m {筛去0和4}，其余节点都是筛去0和4。

f（X）=1/2*1/3*3/5*5/7*9/11*155≈9.06个若乘上11/13，则f（X）≈8.12

实际：19,23|37,41|43,47|67,71|79,83|97,101|103,107|109,113|127,131|

163，167| 共10个

6生素数即P1-P2=6， 3m {筛去0}，5m {筛去0和1}，其余节点都是筛去0和6。

f（X）=1/2*2/3*3/5*5/7*9/11*155≈18.12个若乘上11/13，则f（X）≈16.24

实际17,23|23,29|31,37|37,43|41,47|47,53|53,59|61,67|67,73|73,79|

83,89|97,103|101,107|103,109|107,113|131,137|151,157|157,163 共18个

根据估算原理，当N取30,210...的解的比例将会更高。但若随着N值增大，那么Pm与Pm²要足够大才能具备合理性比较。

对于连续2K生素数，连续孪生素数等存在P1，P2，P3，P4....的类型猜想，可参考两大猜想的转化过程，一样可以转化为素数猜想等式组进行估值（略）

注：本文估算公式只是粗略估算，并非精准细致。当Pm取值增大，各猜想在Pm与Pm平方间的解的数量f（X），也必然会随之增大发散的（代入公式即可，略）。

特殊情况：一般情况下，因以0为起点的区域，筛去的数值组合重叠率，会高于完整闭环的平均值，故而估算结果会略少于实际结果。

但有如下特殊情况：

1. 完整闭环的数值过少，或选取的区段数值过少，导致估算值与实际值的准确率误差较大（这个没有固定值，需因应不同的猜想而定）；

2. 区段的终点刚好是（准X）的真空段和密集段交界点，也会对估算的准确率产生一定影响（但随着Pm值的增大，这方面的影响随之降低）；

3. 在Pm取不那么大的数值时，公式没有计算最大节点Pm的筛留占比率，可能会造成估算结果比实际结果略大。比如前面举例Pm=13，因为没有超过13²。在左边的估算公式中没有乘上11/13。但11²与13²之间的间距，占估算区间的比例较大，所以造成估算结果比实际结果略大。右边乘上11/13后，都比实际结果少。这点会随着Pm值的增大到一定值后，估算结果都会少于实际结果（这是第一区间重叠率比大闭环的平均率高的原因）。

对于哥巴猜想与孪生素数不同的情况，举实例N=32说明：

32=3m 2,5m 2。故X≠2m 0，3m {0,2}，5m {0,2}。

f（X）=1/2*1/3*3/5*25≈2.5个筛留结果分别是：13,19,31 共3个解。

实际f（X）分别是：3,13,19,29 共4个解。

1.解值13与19相对应，故而两个解组成1组解（与孪生素数不同）。

2.解值31与1相对应，但因为1不是素数，所以在实际中不列入解；

3.另外，实际中还有1组解是：3与29。但因为在等式组中筛去了（3m 0），故而（3m 2）也被筛去了。所以3和29不会出现在等式组的结果中。

综合哥德巴赫与孪生素数的特殊性：

孪生素数的Pm取值可以取无穷大，所以无需估算Pm前被筛去的部分，只估算Pm与Pm²的即可。

而哥德巴赫的解之中，在小于Pm的奇素数作为被筛数的，例如式中3这个数值，也有可能是其中一个解。所以哥巴猜想的估算范围，扩展至：2-Pm²之间更为合适。并将Pm及以内符合实际解组的素因子，列入在附加结果内。虽然这样会重复计算了，但在大数值下，（2-2Pm之间）与Pm²相比较，是微不足道的。

根据上面分析，于是N=32的估算公式和结果为：

f（X）=1/2*1/3*3/5*（31）≈3.1个筛留结果分别是：1,13,19,31 共4个，