前几天有个家长问我余数问题该如何解答,黄老师本讲就来讲讲常见的余数问题的解法。

例一:有一个不等于1的整数,它除300,262,205得到的余数相同,这个整数是多少?

分析(分析不要求掌握,只要求记住最后结论):

我们设这个不等于1的整数为m,它除300,262,205得到的商分别为a,b,c,余数相同,均设为n,根据题意列出式子如下:

300÷m=a……n

262÷m=b……n

205÷m=c……n

好,根据除法的定义:被除数=除数×商 余数,得到:

300=a×m n ……1式

262=b×m n ……2式

205=c×m n ……3式

我们利用二元一次方程组的知识,

1式-2式(左边减左边,右边减右边),得到:

300-262=a×m n-(b×m n),化简得到:

38=(a-b)×m

同理,2式-3式,1式-3式分别得到:

57=(b-c)×m95=(a-c)×m

例二:如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?

分析:此题有2种解法。

解法一:参照例一,三个被除数两两相减,得到三个差分别是954、1749和2703,那么,求这三个数的公因数,如下:

余数三大定理例题(1-6年余数知识点讲解)(1)

好,此题做到这里,我们发现,我们一下子很难找出318、583和901的公因数,那么,此题答案是不是3呢?

很明显,答案不是3,因为题目中给出余数是15,商是不可能大于余数的。

所以,318、583和901三个数肯定还有其他公因数。

那这个(或几个)公因数该如何找?

彩蛋来了

我们知道:几个数如果他们有公因数,这个公因数一定是其中一个数的因数。

所以,我们在这几个数中找一个较简单(一眼能看出有因数的)的数,把这个数分解质因数,然后用分解出来的质因数一个一个试,看是否为公因数。

我们试一下318、583和901这三个数的公因数:

这三个数较简单的是318,至少可以看出2是他的因数,所以我们选择318这个数:

余数三大定理例题(1-6年余数知识点讲解)(2)

318先分解2,再分解3,得到53,53较易判断,其是质数,所以:

318=2×3×53;

好,那我们下一步将2、3、53这三个因数分别试一下看看是不是318、583和901的公因数:

2:肯定不行,不能被583整除;

3:也不行,不能被901整除(9 0 1=10,不能整除3);

318、583和901这三个数还有公因数(除1以外),那么一定是53!

余数三大定理例题(1-6年余数知识点讲解)(3)

相信说了这么多,聪明你一定懂了.

因为题目中没有要求这个整数最大或最小,所以答案应该是两个,即53和159(3×53)。

解法二:

先把余数减掉,因为这个数除492,2241,3195都余15,所以把余数15减掉就可以整除这个数,然后再参照例一解法。

减掉余数再两两相减得到的三个数分别是:477、2226和3180,一眼看不出公因数,选择较为简单的数3180来试:

余数三大定理例题(1-6年余数知识点讲解)(4)

发现:2不能被477整除,5不能被477整除,所以只有3和53可以。

下略。

例三:求2003×59除以7的余数?

此类题也较为常见,但多见于平时训练,因为学生用常规方法同样可以解出。

常规解法:

2003×59=118177,118177÷7=16882……3

简便解法:

2003÷7=286……1;

59÷7=8……3;

1×3=3;

3÷7=0……3

所以答案是3.

简便解法说明:先计算每个乘数除以7的余数,然后再将余数相乘再除以7。

余数三大定理例题(1-6年余数知识点讲解)(5)

习题:

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余数三大定理例题(1-6年余数知识点讲解)(6)

2.自然数16520,14903,14177除以m的余数相同,m的最大值是多少?

3.求11 22 33 44 55 66 77 88 99的结果除以3的余数。

4.1991和1769除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是?

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