如图所示,⊙O是锐角△ABC 的外接圆,H是两条高的交点,OG⊥BC于G。求证:OG=AH/2。

初中数学圆的几何题及答案(关于圆的几何题)(1)

解析:由题图可知,

OG和AH之间建立不了直接的联系,

所以需要作辅助线进行转化。

因为O是圆心,

如果能作出一条直径来,

不仅会出现等量线段(主要指圆的半径),

而且还会构造出直角三角形。

我们仔细观察图,

如果将OC连接起来,

延长作⊙O的一条直径CE,

看一看有何变化和能创造什么条件,

如下图所示,

初中数学圆的几何题及答案(关于圆的几何题)(2)

如果再将BE和AE连接起来,

就会出现两个直角三角形,

Rt△EAC和Rt△EBC,

如下图所示。

初中数学圆的几何题及答案(关于圆的几何题)(3)

在Rt△EAC中,

因为∠EAC=90°,

所以AE丄AC.

又由题意可知BH ⊥AC,

所以EA// BH。

同理可证 EB//AH,

所以四边形AEBH为平行四边形,

所以AH=BE。

(这样就把AH转化为BE,而OG与BE又在同一个△ECB中,这样就使问题明朗化了。)

在 Rt△EBC中,

因为OG丄BC,EB⊥BC,

所以OG∥EB。

又因为O是CE的中点,

G是BC的中点

所以OG是△BCE 的中位线,

所以OC=EB/2

故OC=AH/2。

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