在开始证明前,我们先看两个简单的,以寻找思路。

李永乐有理数和无理数(证明π是无理数)(1)

李永乐有理数和无理数(证明π是无理数)(2)

从上面两个例子我们可以看到,证明一个数是无理数,我们其实没有什么好的手段,就是反证法

因为有理数是有清晰定义的,能表示成两个整数之商,就是有理数。而无理数则没有清晰定义:在实数内,不是有理数就称为无理数

好了,现在我们开始来尝试证明π是无理数

李永乐有理数和无理数(证明π是无理数)(3)

(我每次说“显然”时,心中无比忐忑不安,不知道您是否显然看出来)

李永乐有理数和无理数(证明π是无理数)(4)

李永乐有理数和无理数(证明π是无理数)(5)

我们继续构造函数

李永乐有理数和无理数(证明π是无理数)(6)

即0<F(1) F(0)<1

这与F(0),F(1)均为整数矛盾

所以假设^2是有理数错误,π^2是无理数

所以π也是无理数

(不记得中值定理可以点这里学习一下:零点定理)

(不记得高阶求导可以点这里学习一下:二项式定理与高阶求导)

以上证明是数学家Ivan Niven于1947年提出的,号称是目前为止最短的证明!我们的妈呀,这是最短证明!我可是花了两天时间一步一步抄,边抄边理解才看懂哦。

我怀疑,证明π是无理数,应该有更简洁的证明,就像lg3那样简洁的证明,不过是还没找到而已。期待陶哲轩那样的聪明大脑能试一下,说不定不需要一张纸就整完了呢。

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