一、一元二次不等式与分式不等式

1、一元二次不等式的解集端点→一元二次方程的解→二次函数的零点。

2、解一元二次不等式的步骤:

二次项系数化为正→因式分解(求根)→判断符号(大于0,两根之外,小于0,两根之外)

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(1)

3、分式不等式:

转化成整式不等式求解

二、二元一次不等式解法

1、可行域的判断依据:

y 的系数 by 与不等号 ,同号,直线上方;异号,直线下方 。

2、目标函数平移规律:

y 的系数 b 为正,往上平移变大; y 的系数 b 为负,往上平移变小

三、典型例题

1、解含参一元二次不等式与分式不等式

例题1:已知 0 < a < 1,则关于 x 的不等式 (x - a)(x - 1/a)> 0 的解集为 ?

解:根据不等式的性质可得

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(2)

故而可得解集为

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(3)

变式:

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(4)

解析:将不等式因式分解可得

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例题2:若 a < 0,则不等式

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(6)

解析:将不等式化简可得

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(7)

2、不等式中的参数求解

例题3:函数

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的定义域为 R,则实数 k 的取值范围为 ( )

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(9)

解析:函数的定义域为 R,故而可得

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(10)

故而

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(11)

变式:若不等式

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(12)

则实数m的取值范围为________。

解析:化简可得

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(13)

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(14)

例题4:设不等式 mx^2-2x-m+1<0 对于满足 |m| ≤ 2的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围 。

解析:将不等式化简可得

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(15)

故而将 m 当作自变量,这是一个一次函数,故而可得

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3、二元一次不等式组的基础解法

例题5:(2017年课标1卷13题)设 x,y 满足约束条件

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则 z = 3x - 2y 的最小值为 ________。

解析:根据约束条件可画出可行域如图所示,

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(18)

y 的系数为负,故而可得当初始函数平移经过点 A 时函数取最小值,联立

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4、含参二元一次不等式组的解法

例题6:已知 x , y 满足约束条件

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目标函数 z = 2x - 3y 的最大值是2,则实数 a = ( A )

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解析:根据约束条件可以发现,可行域必然在直线 x - y - 2 = 0 的上方和直线 x - 2y 3 = 0 的下方,直线 y = 4 - ax 是恒过点

(0 , 4)的一条直线。

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故而要使得存在可行域,直线 y = 4 - ax 必须顺时针旋转,目标函数 z = 2x - 3y 的系数为负,故而向下平移的过程中不断变大,因此可得目标函数在点 B 处取到最大值。联立方程

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例题7:设实数 x ,y 满足约束条件

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若目标函数 z = mx y ( m > 0 ) 的最大值为6,则 m 的值为(A )

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解析:根据约束条件可以画出可行域如图所示,

高中数学一元二次不等式含参数(高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法)(26)

目标函数 z = mx y 的初始直线斜率为负,系数为正,故而可得无论直线如何旋转,都将在点 B 处取最大值。

联立方程

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解题思路:

此类问题包含两种形式,一种是约束条件中含有参数,一种是目标函数中含有参数。

两种问题都涉及到分类讨论和函数的旋转。

① 约束条件含参:影响斜率,对直线进行旋转;影响截距,对直线进行平移。

② 目标函数含参:对参数进行正负的讨论,注意与可行域中的约束条件进行对比讨论。

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