高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(1)

圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质,因而为正确理解与掌握其光学性质,就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P(

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(2)

)为圆锥曲线

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(3)

(A、B、C不同时为零)上一定点,则在该点处的切线方程为:

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(4)

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(5)

。(该方程与已知曲线方程本身相比,得到的规律就是通常所说的“替换法则”,可直接用此法则写出切线方程)。

该方程的推导,原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(6)

,进而用点斜式写出切线方程

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(7)

,则在点P处的法线方程为

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(8)

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(9)

1、抛物线的切线、法线性质

经过抛物线

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(10)

上一点作一条直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(11)

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(12)

事实上,设

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(13)

为抛物线

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(14)

上一点,则切线MT的方程可由替换法则,得

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(15)

,即

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(16)

,斜率为

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(17)

,于是得在点M处的法线方程为

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(18)

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(19)

,得法线与x轴的交点N的坐标为

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(20)

所以

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(21)

又焦半径

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(22)

所以

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(23)

,从而得

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(24)

当点M与顶点O重合时,法线为x轴,结论仍成立。

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(25)

,则

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(26)

,又故

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(27)

,从而得

也可以利用到角公式来证明

抛物线的这个性质的光学意义是:“从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质

经过椭圆上一点的法线,平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(28)

证明也不难,分别求出

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(29)

,然后用到角公式即可获证。

椭圆的这个性质的光学意义是:“从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。

3、双曲线的切线、法线性质

经过双曲线上一点的切线,平分这一点的两条焦点半径的夹角,如图3中。仍可利用到角公式获证。

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(30)

这个性质的光学意义是:“从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线是散开的,它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

--END--

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(31)

高中数学圆锥曲线的弦长(圆锥曲线的光学性质)(32)

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