高中数学圆锥曲线的弦长（圆锥曲线的光学性质）

圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P（

）为圆锥曲线

（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：

。（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。

该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率

，进而用点斜式写出切线方程

，则在点P处的法线方程为

。

1、抛物线的切线、法线性质

经过抛物线

上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中

。

事实上，设

为抛物线

上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得

，即

，斜率为

，于是得在点M处的法线方程为

令

，得法线与x轴的交点N的坐标为

，

所以

又焦半径

所以

，从而得

即

当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出

，则

，又故

，从而得

也可以利用到角公式来证明

抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质

经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中

证明也不难，分别求出

，然后用到角公式即可获证。

椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。

3、双曲线的切线、法线性质

经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。仍可利用到角公式获证。

这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

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