对于连续函数大家都知道，一般我们所接触的连续函数都能找到在一段区域里可导。而在数学的发展过程中，数学家猜测有没有处处连续又处处不可导的函数呢？一般的函数把它局部放大，当它放大到一定程度，就会是一条光滑的曲线。只要光滑就肯定可导。那么处处连续处处不可导的函数，不管怎么放大，一定不会出现光滑的曲线，后来这样函数被数学家找到了，现在给出Van Der Waerden在1930年找到的一个函数，是用无穷级数表示的：
首先证明这个无穷级数在负无穷到正无穷区域内连续。
该证明需要用到函数项级数里的两个定理，第一个是函数项级数一致收敛的Weierstrass判别法。这里先解释一下一致收敛。
一致收敛其实就是函数项级数在各个点的收敛速度一致，收敛速度与函数点的位置无关。
一致收敛的Weierstrass判别法：
证明略。第二个定理是对于一致收敛的函数项级数，极限运算与无限求和运算可以交换顺序。
连续性定理：
证明略。有了这两个定理，下面继续证明这个无穷级数在负无穷到正无穷区域内连续。
接下来是该证明最关键的地方：
当第m位小数点是0,1,2,3,5,6,7,8这些数时，小数位上加1，这样，原来小数位的数大于等于5，经过这样的操作之后，小数位的数还是大于等于5；原来小数位的数小于5，经过这样操作，小数位的数还是小于5。
这个极限是不存在的，也就是函数的导数不存在。
实际上现实生活中到处有这样的处处连续处处不可导的函数，比如海岸线，首先海岸线是连续的，从地图上看海岸线弯弯曲曲不光滑的，如果试图放大去找光滑的曲线，我们去海边观察海岸线，会发现局部有更多的地图上没有显示出的皱褶。无论怎么放大，曲线总有皱褶。反而是在生活难以找到理论上光滑的曲线，光滑的玻璃把它放大也会看到它并不是平整的，任何平面都有粗糙度，褶皱恰恰是常态。
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