高中数学通用型解题方法（四种条件的判断方法）

要判断条件p是结论q的充分必要条件，或必要不充分条件，或充分不必要条件，或既不充分也不必要条件，除要对命题“若p则q”和“若q则p”的真假进行正确判断之外，还要掌握一些常用的方法与技巧。对初学者来说有些条件的判断是有一定难度的，下面谈谈四种条件的判断方法。

一、定义法

由“四种条件”的定义可知：判断条件p是结论q的什么条件，实际上就是判断或

的正确与否。只要运用题目中所给的条件和相关的数学知识加以判断即可。而对于抽象命题的判断，则只有将题中所给的逻辑关系画出示意图，再利用定义进行判断。

例1、“”是“”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

分析：“若p则q”是原命题，可知：①原命题真而逆命题不真，则p是q的充分不必要条件；②原命题不真而逆命题真，则p是q的必要不充分条件；③原命题、逆命题都真，则p是q的充要条件；④原命题、逆命题都不真，则p是q的既不充分也不必要条件。

解析：命题中条件p是“”，结论q是“”。若，则

且

（即），这说明“

且

”是“”的充分条件。

若，则

，

适合上式，但

，可见由

且

推不出

，这说明“”不是“且”的必要条件。故应选A。

二、集合法

如果从命题的条件和结论之间的关系来判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，尤其是所研究的条件p与q表示两数集时，这种方法就更显优越性。记条件p、q对应的集合为A、B，即：

，

。

①若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若

，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若A=B，则p是q的充要条件；④若

，且

，则p是q的既不充分也不必要条件。

上述命题的逆命题也是正确的。

例2、是否存在实数m，使“”是“”的充分条件？如果存在，求出m的取值范围。是否存在实数m，使“”是“”的必要条件？如果存在，求出m的取值范围。

分析：充要条件反映了命题间相互推导的逻辑关系，同时也是集合之间关系的一种反映。如，则A中的元素是属于B的充分条件，B中的元素是属于A的必要条件。本题将“若p则q”的判断转换成两集合之间的一种包含关系，从而使问题便于判断。

解析：设p：，q：

。

条件p对应的集合

，条件q对应的集合B={x|

－2>0}=

。

若

成立，则必有，在数轴上表示两集合的关系易知

，可得。于是时，，即。故存在，使“”是“”的充分条件。

若p是q的必要条件，则必有成立，即要

，这样不可能。

故不存在实数m，使“”是“”的必要条件。

三、等价法

利用与

；

；

的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法。

例3、已知p：

，q：

（m>0），且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

分析：本题充分利用互为逆否的两个命题的等价性进行转换，从而得到q是p的必要不充分条件，又根据“四种条件”的定义将其转化为p是q的充分不必要条件，再利用集合关系顺利求解。

解析：由p是q的必要不充分条件，即

，可得

。

可知q是p的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件。

由，得

（m>0）。

∴q：

又由，得

。

∴p：

。

又p是q的充分不必要条件，知

∴

，解得不等式组的解为

故所求实数m的取值范围是

。

▍ 编辑：Wulibang（ID：2820092099）

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