在讲确界存在定理前，我们先说说最大数与最小数，当然了，以后所有的内容都是建立在实数具有完备性的基础之上的，可以说它就是数学分析的基础，所以这部分一定要吃透，重中之重。
最大数与最小数
其实说到最大数与最小数，我想大家都对它们有一个模糊的概念，都知道最大数与最小数就是一个数集的最大的数与最小的数，但是不是所有数集都有最大的数与最小的数呢？比如集合：A=｛x| 0≤x<1｝，稍微停留思考一下，有没有最大数或者最小数。
其实很简单，用数学语言就是，设S是一个非空数集，如果∃ζ∈S，使得对于∀ x∈S，都有x≤ζ，那么就称ζ是数集S的最大数。如果 ∃η∈S，使得对于∀ x∈S，都有x≥η，则称η为数集S的最小数。
有了上面的数学语言的描述，我想大家应该可以得到上面问题的答案，并证明自己的结论了吧？
结论就是A中无最大数，但有最小数，最小数就不用说了，0就是最小数，下面证没有最大数：
证：如果A中有最大数，不防记最大数为α吧，且α∈[0，1)，那么可知，α<(α 1)/2<1，且(α 1)/2∈A，但是却大于最大数α，这与α是数集A的最大数矛盾，因此数集A无最大数，证毕。
有了最大数与最小数概念，我们下面就开始介绍非空数集的确界存在定理。但是呢，在介绍确界存在定理之前，还有向大家介绍一对双胞胎，总称名字叫做界，他们分别叫上界与下界。下面还是用数学语言来描述一下。
上界与下界：
设S是一个非空数集，如果 ∃M∈R，使得对于∀x∈S，都有x≤M，则称M是数集S的一个上界，如果∃N∈R，使得对于∀x∈S，都有x≥N，则称N是数集S的一个下界。
注意：数集S的上界（下界）有无数个，只要比数集S中任一个元素都大（小），它就是数集S的上界（下界）。
数集S既有上界又有下界，就叫数集S是有界集。即∃X∈R，使得对于∀x∈S，有|x|≤X。
有了上面的概念，那么就自然而然会想到，这些界中，有没有一个最小上界或最大下界呢？就比如上面说过的数集A=｛x| 0≤x<1｝，很显然数集A是有界的，它存在上界与下界，那么它有没有最小上界与最大下界呢？很显然，各位肯定都看出来了，有，最小上界显然是1，最大下界是0，那么是不是所有有上界的数集都有最小上界，所有有下界的数集都有最大上界呢？带着这样的疑问，我们展开下面的确界存在定理的讲解。
确界存在定理：
设数集S有上界，记U为数集S的所有上界构成的集合，很显然U无最大数，下面会证明，U一定有最小数，这个最小数就称为数集S的上确界，记为sup S。
有了确界的定义，我们可以得到，上确界应该具有这样的两个性质：∀ ∃
①、记数集S的上确界为ξ，对于∀x∈S，有x≤ξ。
②、对于∀ε>0，∃x∈S，使得x≥ξ-ε。
对于第二条性质，也就是说，不论（不论给定的ε多么小）多么接近确界ξ，在数集S中总能找到元素x，使之介于被要求的范围内。
有了上确界定义及性质，那么很自然的就可以得到下确界的定义跟性质了。
设数集S有下界，记U为数集S的所有下界构成的集合，很显然U无最小数，下面会证明，U一定有最大数，这个最大数就称为数集S的下确界，记为inf S。
我们同样可以得到下确界的两条性质：
①、记数集S的下确界为η，对于∀x∈S，有x≥η。
②、对于∀ε>0，∃x∈S，使得x≤η-ε。
由此我们引出一个定理，确界存在定理。
确界存在定理：
非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。
分析与证明：
分析：下面我们将开始证明确界存在定理，我们不防先来分析一下，不防设数集S有上界，我们可以把数集S的全部上界构成一个集合U，这样就构成了一个划分，这个划分确定的数就是数集S的上界，这样就可以运用戴德金定理来证明了。
戴德金定理：设A/B是实数集R的一个切割(A/B=R)，则要么数集A有最大数，要么数集B有最小数。
证：设非空数集S有上界，令数集S所有上界构成的集合记为U。
U={x| x≥t，∀t∈S}，在令U的补集为Û，
Û={x| x∉U}，这样就构成了实数集R的一个切割，对于∀x∈Û，则x不是数集S上界，那么我们可以知道，在数集S中必定存在t，有t>x，t∈S，再令x'=(t x)/2，因有t>x，从而可知x<x'，而x'<t，因此知x'∈Û，由x<x'与x'∈Û，在由x的任意性，知数集Û无最大值，而集合U与Û构成实数集R的一个切割，因此由戴德金定理知，数集Û中无最大值，那么数集U必有最小值，由此得知数集S的上界构成的集合有最小值，即数集S有最小上界，即上确界。证毕，
对于下确界，可类似证得。
有了确界存在定理，我们下一篇将介绍聚点定理，实数系连续性几大定理极其重要，所以要一个一个去讨论。
,
