函数y=x-1x-2x-3的性质归纳（隐函数y3-x2）

主要内容：

本文介绍隐函数的定义域、值域、奇偶性等性质，并通过导数知识，求解函数的驻点和拐点，判断函数的单调性和凸凹性，并解析函数的单调区间和凸凹区间。

函数的定义域：

根据函数特征，变形函数表达式y^3=1 x^2，可知自变量x可取全体实数，即函数的定义域为：(-∞， ∞)。

函数的值域：

∵y^3=1 x^2，

∴y^3≥1，即y≥1。

即函数的值域为：[1, ∞)。

函数的奇偶性：

y^3=1 x^2,可知两个互为相反数的自变量x1和x2，都有同一个y值与之对应，符合偶函数的定义f(-x)=f(x),即函数为偶函数，其图像关于y轴对称。

函数单调性：

用导数知识求解函数的一阶导数，进而得函数的拐点，判断函数的单调性并求解函数的单调区间。

对隐函数y^3=1 x^2两边同时对x求导，得：

3y^2*dy/dx=2x,即：

dy/dx=2x/3y^2,

令dy/dx=0,则x=0，有：

(1)当x＞0时，dy/dx>0,此时函数为增函数，函数的增区间为：[0, ∞);

(2)当x＜0时，dy/dx＜0,此时函数为减函数，函数的减区间为：（-∞,0]。

函数凸凹性：

∵dy/dx=2x/3y^2,

∴d^2y/dx^2

=2/3*(y^2-x*2ydy/dx)/y^4

=2/9*(3y^3-2*2x^2)/y^5

=-2/9(x^2-3)/y^5.

令d^2y/dx^2=0，则x^2=3,即x=±√3.

（1）当x∈(-∞,-√3],[√3, ∞)时，

d^2y/dx^2≤0，函数图像为凸函数；

（2）当x∈[-√3,√3]时，

d^2y/dx^2＞0，函数图像为凹函数。

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