“数学是工具，也是语言。可能在掌握这门工具或者语言的过程中，你们会觉得辛苦，但相信我，和发现未知的乐趣相比，这些努力和辛苦，都是值得的。一旦你意识到，我们不过是在一颗渺小星球上的渺小人类，却在试图掌握一种可以了解宇宙真理的玩意儿，你会突然意识到，学习过程本身就已经足够了不起。”
——《天才基本法》
函数是中学数学最重要的概念之一。函数概念的出现，是人类思维从静飞跃到动的必然。当人们试图描述一个运动和变化的世界的时候，导入自变量和因变量是极为自然的!
1692年，莱布尼茨首次使用“函数”(function)这个词，设曲线上的点在运动，曲线上的动点相应的切线和曲率被莱布尼茨称为该动点的函数。此时它所表示的还仅仅是“幂”、“坐标”等与曲线上点有关的几何量。而到18世纪，这一概念已扩展为“由变量和常量所组成的解析表达式”。到19世纪，解析式的限制被取消，并为对应关系所替代。函数概念的几度扩张，反映了近代数学的迅速发展。
变量和常量世间万物都处在运动和变化的进程中。地球一刻不停地在围绕太阳公转，同时也在自转。“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”。运动和变化是永恒的，不变反而让人疑惑。下面讲述的故事再生动不过了。
1938年12月22日，在非洲的科摩罗群岛附近，渔民们捕捉到一条怪鱼。这条鱼全身披着六角形的鳞片，长着4只＂肉足”，尾巴就像古代勇士用的长矛。当时渔民们对此并不在意，因为每天从海里网上来的奇形怪状的生物多的是。于是，这条鱼便顺理成章地成了美味佳肴。
话说当地博物馆有个年轻的女管理员叫拉蒂迈，此人平时热心于鱼类学研究。当她听到消息闻讯赶来的时候，见到的已是一堆残皮剩骨。不过，出于职业敏感，拉蒂迈小姐还是把鱼的头骨收集了起来，寄给当时的鱼类学权威、南非罗兹大学的史密斯教授。
教授接信后，顿时目瞪口呆。原来这种长着矛尾的鱼，早在7000万年前就已绝种了，科学家们过去只是在化石中见到过。眼前发生的一切，使教授由震惊转为打一个大大的问号。于是，他不惜定下10万元重金，悬赏捕捉第二条矛尾鱼！
时间一年又一年地过去，不知不觉过了14个年头。正当史密斯教授抱恨绝望之际，1952年12月20日，教授突然收到了一封电报，电文是：“捉到了您所需要的鱼。”
史密斯见电欣喜若狂，立即乘飞机赶往当地。当教授用颤抖的双手打开鱼布包时，一股热泪夺眶而出……
那么，为什么一条矛尾鱼竟会引起这样大的轰动呢？原来，现在捉到的矛尾鱼和7000万年前的化石相比，几乎看不到变异！矛尾鱼在经历了亿万年的沧桑之后，竟然既没有灭绝，也没有进化。这一“不变”的迷惑，无疑是对“变”的进化论的挑战！究竟是达尔文的理论需要修正呢，还是由于其他更加深刻的原因？生物学家对此进行了深入研究，得出几种结论，这里我们暂且不表。
我们先讲一个最简单的函数。设小明的年龄为x，妈妈的年龄为y，我们得到一个函数:y=x 26
x是自变量，y是x的函数。把上式变形:
y-x=26
于是我们知道，在小明母子的年龄的函数关系中，年龄差是不变的常量。
我们前面讲过，这个世界的一切量，都随着时间的变化而变化。时间是最原始的自行变化的量，其他量则是因变量。一般地说，如果在某一变化过程中有两个变量 x ， y ，对于变量 x 在研究范围内的每一个确定的值，变量 y 都有惟一确定的值和它对应，那么变量 x 就称为自变量，而变量 y 则称为因变量，或变量y的函数，记为：
y = f ( x )。
黎曼
函数一语，起始于1692年，最早见自德国数学家莱布尼茨(1646～1716)的论文《有关切线的逆方法即函数》;记号f(x)则是由瑞士数学家欧拉于1724年首次使用的。上面我们所讲的函数定义，属于德国数学家黎曼。我国引进函数概念，始于1859年，首见于清代数学家李善兰的译作。
一个量如果在所研究的问题中保持同一确定的数值，这样的量我们称为常量。常量并不是绝对的，例如“三角形内角和为平角”的定理，只在平面上才成立，但绝对平的平面是不存在的。即使是水平面，由于地心引力的关系，也是呈球面弯曲的。然而，这丝毫没有影响大家去掌握和应用这条定理。
函数概念的产生正如要了解一个人就需要知道他的成长过程一样，我们简单讲述一下函数概念的产生和变迁。
今天的数学起源于古希腊数学，但在古希腊数学中。完全没有函数之类的概念，也没有人去想过，然而。在古巴比伦数学中，曾出现过函数性质中的一些内容．
在很多场合，给“对数”以理论基础的尼古拉。奥雷姆（1323~1382）的名字与最初的函数概念的萌芽联系在一起．但是，对于欧洲的数学，引入函数概念的早期形式是在文艺复兴时期（1400~1600）以后，数学与自然科学的相互影响，促使它开始发展．
伽利略（1564~1642）的自由落体法则可用语言表达为：在自由落体运动中，物体的位置 y 在时刻x时是 y＝½gx²．这个法则包含了“变量 y 与变量 x 的各个值（时刻）相对应，并由x确定”的函数概念．
费马（1601~1665）和笛卡儿(156~1650）利用曲线的形状考虑了独立变量x和从属变量 y 的关系。格里高里（1638~1675）给出了能得到各种值的x，即给出了变量的概念。这使得原本用曲线的形状来考虑的函数，变成了可以通过变化的未知量x的某种形式来表示。
与牛顿（1642~1727）同为微积分学创始人的莱布尼茨（1646~1716）写了一篇名为《有关切线的逆方法即函数》的论文，首次给出了“函数”这个名你，设曲线上的点在运动，曲线上动点相应的切线和曲率被莱布尼茨称为该动点的函数．
函数定义的发展
莱布尼茨之前，杰克·本（1654~1705）和约翰·本（1667~1748）兄弟的论文中实质上已使用了表示函数的量。
但是，最早有意识地给出函数定义的人是奥伊勒(1707~1783)．他在《无穷小分析入门》一书中，给出了这样的定义：以定量和变量构成的解析式称为这个变量的函数，解析式的例子有a 3x, ax -4x², ax b √a² -x²等等．
柯西
柯西（1789~1857）在其所著的《分析学讲义》中对函数给出了进一步的定义：“几个变量之间存在着关系，随着其中一方的值的确定，另一方的值也可以确定下来的时候，一般考虑用前者来表示后者，此时，前者叫做独立变量，后者叫做这个变量的函数。”不用式子来表示变量之间的对应关系，正是柯西比奥伊勒进步的地方．
柯西
傅里叶(1768~1830)揭示出了无论怎样的函数 f ( x ),都可以用三角函数(cos nx,sin nx)的叠加来表示.即可以表示为
f ( x )= a₀ a₁cosx b₁sinx a₂cos2x
b₂sin2x … aₙcos nx bₙsin nx …,
这就是所谓的傅里叶级数.
更进一步扩展了函数概念的是狄利克雷（1806~1859)．在与傅里叶级数有关的论文中，他叙述道：“假设 a 和 b 是两个已定的值，x是在 a , b 之间取值的变量，对于x的一个值，恰好有一个 y 值与之对应，而且，随着x在 a ,b间的连续变化， y也连续地变化。此时， y被称为 a 到 b 这个范围内的 x 的连续函数．这时，既没有必要在这个范围内利用同一规则以x来表示 y ,也可以不用一个确定的关系式来表示x和 y 之间的关系．”较之于用“对应”来表示的函数，这个定义更为明确．
康托尔
在19世纪后半叶，康托尔（1845~1918）创立了集合论。到了20世纪，集合论作为数学各分支的基础而得到发展，成为极其重要的理论。站在集合论的立场上，函数的定义就更一般化了，从而确立了映射这样的函数概念。
波赫那在《科学史中的数学》里归纳了物理学中函数的作用，这里引用如下：
“所谓函数是一种数学表达方法，在使用了它以后，可以正确地描述自然的状态、现象和变化等，在物理学的文章中出现的数学符号是‘科学语言’中的文字和音节。在这些符号的范围内，物理学中出现的函数用数学式来表达意思会更通顺，不仅如此，从物理学角度来看，它有意义并且具有专业性，而且，物理学中的数学函数将原因、从属性和其他许许多多的关系表现了出来，并进行支配，它还对现象的复杂性与简单性予以测定和评价。同时，这些函数也可以表示某一系统状态的不平衡性或不稳定性，从而可以进一步评价出其一般化、特殊化、个别化。——这就是函数．”
函数是什么？我们来听听理科大学生的一些回答。
①映射与对应
②把变量x变换为 y 的操作表示因果关系
④诸元素之间的关系的方程
⑤表示自然与社会现象的数学式
在问卷的回答中，也包含了一些清楚地抓住了本书的主题“直觉思维时的函数作用”的这类答案，如：“这是一种能抓住隐藏在不规则现象中的秩序的方法”,“是适用于人的一切思维的万能工具”,“是对混沌的数集给出生命的东西”等等。
还有学生能够感受到函数的美，这令人振奋。因为这不仅涉及到函数对直觉思维的作用，还需要能够理性地理解它，感性地接受它。
就像数学家冈洁博士经常强调的那样，即使是逻辑性的数学，推进研究的也不是逻辑；思维得以进行的根本，在于人的积极性。
也有人担心，如果进一步使用函数，会令人对现象都习惯于用原因和结果的类型来表示，它将使人缺乏魅力。或许读者中也存在着有这一心理的人，故而在这里要加上一句：希望大家在阅读此书的同时能明白，由丰富多彩的体验所证实的人类的魅力，正是思维中产生函数的原动力；这种思维体验正是魅力产生的基石。
上图是日本辞典对函数的解释。
函数还可以用图形来表示。
古希腊不存在函数的原因数学的几何和代数两个分支，长期以来都是相互割裂，老死不相往来的孤岛。漫长的古典数学时期结束时，转折点出现了。
恩格斯说过:“数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分学和积分学也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生,并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的,但不是由他们发明的。”
恩格斯说的变数就是变量。作为沟通几何和代数的桥梁，变量和函数正是解析几何的精华所在。
恩格斯曾经把对数的发明和解析⼏何的创始、微积分的建⽴称为17世纪数学的三⼤成就。
不得不说，恩格斯的以上论述是相当精辟和深刻的，揭示了变化、 运动与函数这三者的紧密联系。
接下来，我们谈谈古希腊不存在函数的原因。
为什么古希腊不存在函数？
一般认为，古希腊的思想是静止的、几何学的。这就是古希腊几何学发达，但分析学、函数不发达的原因所在。然而事实上，古希腊很早就有了“世界的本质是运动的”这种思想，这在文艺方面表现为阿波罗⁽¹⁾式的作品向对立的狄俄尼索斯⁽²⁾式的作品的转变．
⁽¹⁾阿波罗是希腊神话中的大阳神，主管光明、青春、医药、畜、音乐、诗歌。
⁽²⁾狄俄尼索斯是希腊神话中的酒神，相传他首创用葡萄鬣酒。古希腊人在祭祀他时常表演合唱和舞蹈，希腊戏剧即起源于此。
任何时代，在哲学、文艺、科学等任何领域中，这两种倾向、两种思潮的对立都存在。
不过，在古希腊，由于属于后者的学派，即“运动派”的人在数量上处于劣势，导致无人在数学上发这种思想，这可以说是古希腊没有函数的原因，但是，这一学派的哲学思想是与把物质看作由“原子”构成的“原子论”相联系的．经过了文艺复兴时代，它仍与今天的原子论有联系，这一点是很了不起的！
到了现在，我们周围广袤的自然界中充满了美妙的和谐与神奇的变化．函数正是为了记叙、追踪这些变化而产生的，继而，随着函数概念的确立和发展，引入了坐标来研究几何学，使静态图形的性质也可以使用函数来研究了，作为连接着代表静态世界看法的几何学和代表动态的函数之间的桥梁，笛卡儿所引入的坐标具有划时代的意义．
函数是思维的软件能说清楚“思维”就能透彻地理解“函数”，以回想元军为例。
笔者曾在报纸上读过这样一则新闻：目前，正在进行对沉没于博多湾的元朝军船遗物的调查，文永十一年十月五日，元朝及高丽的联军袭击了对马、壹岐，之后，在博多湾登陆并驱散了日军，如果那天晚上没有席卷博多湾的台风，九州恐怕就被元军占领了，对待敢于抵抗的民族，若按元军以前的所作所为来判断，九州的居民也许被砍尽杀绝了，不仅如此，京都、镰仓也会被占领，这样，日本有史以来首次被外国人统治的历史恐怕要从七百年前就算起了吧？
如果真的那样，这以后的日本历史就要完全改写了，最大的影响就是，日本人的先祖多数被杀，那么，包括笔者和读者在内的许多人都不存在了，在这里生活的是其他人．我们每个人现在仍生存在这里，是个近乎于奇迹的偶然事件，即使没有像元军那样的大事件，只要过去有一个小小的事件，使当时的现实发生了不同的变化，那么，在我们身边，现在就很有可能产生了极大的变化．
不过，每个事件虽然乍一看是偶然发生的，但从历史的进程来看，偶然性很小，对于元军来说，九州山地很多，并不适合他们所擅长的密集骑兵战，因此战争会是长期的，这样一来，没有武器和粮食补给的
①文永十一年即公元1274年。
元军就没有什么胜算了。所以得出的结论是：即使没有那场台风，也不会有什么改变日本历史的大变化发生。
人类独有的特技——思维
人类不仅能对近在眼前的对象，而且还能对没有直接经验过的、遥远的过去或遥远的地方所发生的事，超越时间和空间的限制想办法去了解，把外部广阔的世界映入自已的头脑之中。这是人类独有的、绝妙的特殊能力，帕斯卡明确地说过：“人类是为了正确地思考而产生的，这是他全部的尊严、全部的价值所在，他所有的义务就是正确地思考。”
针对某个对象进行思考，这是其他动物不可能有的行为。现在的问题是，它是由怎样的过程构成的呢？例如，当我们要对“元军来袭击”这件事进行思考的时候，有关元军的数据（知识）就是必要的了。
记忆中的知识虽然很不起眼，但却给出了开始思维的契机，起着重要的作用。在思维过程中，必要的、详细的知识，可以通过对百科辞典或历史书籍的查阅而得到，但是，仅仅收集这些知识可能只对智力竞赛有帮助，而不能推动思维的进行。那么，这里还缺少了些什么呢？这里还缺少了把知识作为素材来推进思维的“软件”.
思维过程中的软件
例如如在做塑料模型时，要按照说明书来安装；在用小方块那样简単的组合玩具制作物体时，要一边想象着成品的样子，一边考虑组合的步骤，可以说，这种组合说明书，脑中的组合步骤等等，就是推进思维“软件”。
在思维过程中，为了连接合适的知识素材而得到有意义的结果，用来推进思维的一个个“步骤（软件）”是必要的．
在考虑“元军来袭击”这件事的时候，就使用了这样的软件，以有关元军的报纸新闻为契机而开始的思维，是用提出了“如果没有台风，日本将会怎样”这个问题，之后寻求答案的形式进行的。此时，问题的提出是一个重要的软件，带着这个问题，使用另一种名为“调查先例及类似问题的解答”的软件，将元军同中国和波斯的战争以及元军占领中国和波斯时的情况相对照，然后考虑对现在的自己有什么影响．像这样，我们在考虑问题的时候，不知不觉会准备思维的软件，而且，这个软件越是与自已关系密切(如考试中问题的解答、企划的发表、就职的工作等)，我们越会做慎重且严密的准备。
不管怎样，人类在许多范围内(领域中)都有着很好的软件，这与其他动物完全不同。
函数——软件的作用
怎样做才能使函数变得在生活中有用呢？这里有一个启示，伟大的数学家波赫那在其著作《科学史上的数学》中强调：“函数并不起源于文艺复兴，而是在它之后，但它与数学分析学的起源紧密地联系在了一起，最后函数扩展到了数学的各个分支，还进一步扩大到了‘合理思维’的许多领域。”这就说明了函数不单单是解决计算问题的工具，它还与更广泛的人类思维的本质有关．
在希腊数学经过文艺复兴走向近代数学的发展过程中，以几何学为代表的静止的、叙述性的东西逐渐成为分析学、力学这种运动的、有功能的东西。而且，在这个发展中，担任了主角的是函数，接着，函数拓展到了数学的每个领域并发挥着作用，不仅如此，它也成为在数学之外的许多领域中合理思维所使用的软件。
如果从函数功能类型的更高度抽象化本身来考虑，这也是当然的结果。即是说，为了从眼前的问题中导出函数，首先要进行的就是第一次类型化，即抓住输入数据和输出数据的类型，把它们分别作为独立变量、从属变量，这个类型可以说是记叙性的。接下来的第二次类型化，就是去发现这些类型间存在的关系，这个东西就是函数．
对象的分类与关系的发现
人类为了思维，就必须把要研究的事物或现象等对象（数据）根据类型进行分类。这种分类不是一成不变的，随着看法的改变，相同的数据往往被分成不同的类型．
分类是为了利用类型把要研究的对象与其他的事物拉上关系。事物因与别的事物有某种关系而成为有意义的东西。对于类型本身也可以这样说。如果仅仅是从对象（数据）中抽出类型，思维就无法继续进行下去。我们应当这样进行思维:这个类型与其他类型之间有什么关系？对这个类型能不能进行某种操作而使它变换成其他的类型？像这样的与其他类型拉上关系或进行变换，就是思维软件的本质。
发现了现象之间的关系，或者把某事物（数据）变换成其他的事物，在被认为是人类思维最抽象化的数学中，也是本质的软件。
数学天才高斯曾这样说过：“从最一般的意义上说，数学是‘关系的科学’，在全部的内容中，对‘关系’作出抽象．”
高斯
函数是最直接地使用关系和变换的。函数把分散的数据当作具有密切关系的有意义的东西，对这些数据起着统一的作用。关于函数的功能，施彭格勒曾说过：“数学中，存在着函数意味着有的种类具有全面的机动性；不存在函数意味着有的种类具有全面的静止性．”
正如前面所叙述的那样，古希腊的数学中是不存在函数的，因此只能处理几何学中那些静态的东西，可以说它仅停留在思维的分类阶段，到了近来，渐渐引入了函数这个具有功能性的概念，开辟了从因果关系这一方面来分析天体运动等动态现象的道路。
关于逻辑思维，可以认为它是随着对因果关系的探索而进行的。函数的功能和逻辑思维的本质有着深刻的关系。
什么是函数般的表达思想只要活着，人就必须要为提出问题、解决问题而进行思维。
为了推进思维，并得出有意义的结果，就必须抛弃“所有事物都是随机的”这一想法。要想一想，正在思维的问题中，是否隐藏着什么普遍的、一般的现象呢？如果想到了这一点，那就开始了“函数般的表达思想”。
类型的发现
一边观察正在考虑的问题中发生的每个具体情况，一边要寻找每个情况的原因之间存在的类型和结果之间存在的类型，并发现原因的类型和结果的类型之间的连接关系，就达到了“函数般的表达思想”这一目标．
我们都希望能从看起来复杂而又混沌的数据中或多或少地看到一些秩序与和谐。相对于复杂和混沌，人心本来就偏爱单纯与秩序，追求和谐与美．一个人的生活状况左右着他心中的想法，具有“函数般的表达思想”的方法的人，从混沌的状况中发现秩序的意志是不会弱的。
在考虑面前所要解决的问题时，首先进行的是直觉思维，没有发现问题的类型之前，逻辑思维是不起作用的。按照这个过程，思维首先会向着如何把握问题类型的单纯性、和谐性的方向进行。在发现了问题的简单明了的类型后，就会直觉地得到这个问题的答案。之后，就可以利用逻辑思维来检验这个答案是否正确，并且可以用他人能理解的形式表示出来。
为了创造新事物，必须在逻辑思维之前根据直觉来发现类型，这个过程对于解决问题来说，往往是最困难、最费时间的。
爱因斯坦经过了7年的潜心研究，才创立了相对论，而从他对自古以来的时间概念产生怀疑开始，到他关于时空相对性的论文的完成，只用了五个星期。从时间上说，这个新思想在浮现的那一瞬间，就被直觉地肯定了，因此逻辑思维只用五个星期就完成了。
这种直觉思维是不能委托他人来完成的，爱迪生曾经说过：“我可以雇用数学家，但数学家却不能雇用我．”正像爱迪生所说的那样，把发现了类型以后的逻辑思维委托给他人，仍可能得到与自已相同的结果；而把直觉思维委托给他人，是办不到的．
数学的灵活运用
对于具有数学构造的类型，可以使用数学逻辑．若能用函数来表示类型，则数学逻辑的运用就变得简单了，自然科学之所以有效，其根源就在于用函数描述了自然现象，正如波赫那和威格纳所言：数学能够如此巧妙地描述自然现象，真是近乎于一种奇迹！
不少自然现象，与我们以为会对它产生影响的大量条件没有关系；自然现象往往具有只是极少数因素在起作用的简单明了的类型，利用数学，它将变得很简单，无论是什么问题，要解决它的话，不使之复杂化使之简单化，常常是不可缺少的。
将数学应用于现实问题时，要把现实世界复杂的现象中多余的部分去掉，而只抽出本质的性质（类型)，然后将其数量化．伽利略发现了物体的自由落体法则，他对于物体的形状、大小以及空气、风等看上去似乎对物体的下落有重要影响的东西统统不考虑；而且他还除了人们凭经验以为的、重的物体下落就快这种错误经验，从而发现了物体自由下落的距离是时间的函数，可表示为
y =½gt²
伽利略是第一个把重量也排除在自由落体运动之外的人，
仅由本质所表现的事物往往简洁得令人吃惊。它拥有超越空间和时间的一般性．数学作为极度抽象化的学问体系，提供了追求简洁性、一般性的软件．
掌握“函数般的表达思想”
将以上所讲的内容作一个总结，对于“解决问题的思维”可作如下的归纳：
(1）发现隐藏在作为问题的现象中的类型；(2）在一个类型与其他类型的联系或变换中，发现新的类型并了解其意义；
(3）利用类型之间可以得到的关系，了解具体的现象之间的关系。
这个过程与发现函数的过程是完全一一对应的．即函数是：
(1）从作为问题的现象中确定哪个为变量（元素）;
(2）发现变量（元素）之间的对应关系；
(3）利用得到的函数，了解变量被赋于具体的值时，现象之间的关系。
一目了然的是，思维和函数之间也存在着函数关系．
正如高斯所说的，数学是研究关系的学问．对于人类的思维来说，所谓认识现象，其结果就是了解现象之间的关系．是否可以“单独”地认识现象，这一问题不属于合理思维的范围，而属于宗教的领域。如果可以说，人类了解事物就是了解它与其他事物的关系的话，也就可以说，直接表现了“关系”的函数就是思维的本质。
这样看来，“函数是表现元素间的对应与映射的，但并不一定要把它们的对应关系用数学式表示出来”这个集合论的函数定义就是非常含蓄的定义了．“函数般的表达思想”的本质是：在发现了类型后，去追求类型之间的关系．而这种类型能否数量化，关系能否用数学式表示，则是次要的。
无论是自已使用数学，还是拜托他人，首先，函数般的表达思想是必要的。仅仅把事物用 y = f （ x ）来处理并不是对函数的灵活运用。相反，在日常生活中，不使用数学式就可以灵活运用函数的情况出现得更多，比比皆是.
特别收录
数学辞海第一卷关于函数的相关资料。
参考书目:《函数在你身边——直觉探索函数世界》，讲谈社原版，权平健一郎 神原武志 合著，科学出版社，2001。
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