写在前面

爱因斯坦曾说:“美,本质上终究是简单性.”朴素、简单,是其外在形式,只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美.我们在解决数学问题时,也要追求解法之美,既简洁又突出本质.

一、正多边形的内角度数

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(1)

例1:

求正12边形每个内角的度数.

分析:

看到这个问题,有的同学会想到先根据n边形的内角和公式(n-2)·180°求出12边形的内角和,然后除以12.

著名数学家陈省身在北大演讲的时候说:三角形的内角和是180°是不好的,应该关注外角和是360°.因为把眼睛盯着内角和只能得到:

三角形内角和是180°;

四边形内角和是360°;

五边形内角和是540°;

......

n边形的内角和(n-2)·180°.

如果看外角呢?

三角形外角和是360°;

四边形外角和是360°;

五边形外角和是360°;

......

n边形的外角和360°.

这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了.用了一个与n无关的常数代替了与n有关的公式,找到了更一般的规律.

如果这道题目,我们直接利用n边形的外角和360°的结论,题目将会非常简单.每一个正12边形的外角为360°/12=30°,则内角为180°-30°=150°.这样计算既简单又突出本质.

练习1:

如果正n边形的每个内角为140°,求n的值.

解析:

每个外角的度数为:180°-140°=40°,

故n=360°/40°=9

二、一元二次方程的求根公式

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(2)

例2:

计算ax²+bx+c=0(a≠0)的解.

分析:

我们再推导求根公式时,通常采用下面的配方法.

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(3)

由于求根公式的得出,我们能对二次方程和它的求解产生新的认识么?

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(4)

我们把每个步骤倒过来写时,可以发现一元二次方程的新解法.

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(5)

这种解法更加简单,而且突出了判别式的由来和本质.

三、反比例函数的形式

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(6)

例3:

已知点A(n,2)和点B(3,n-2)在反比例函数y=k/x上,求k.

分析:

我们可以将A、B两点的坐标代入y=k/x,得到两个关于k和n的等量关系.

如果我们把反比例函数的形式进行简单变形即可得到k=xy.这种形式更能突出反比例函数的本质和意义:反比例函数的横纵坐标的乘积是一个定值k.

则易得2n=3(n-2)=k,即可方便求出n和k.

练习2:

如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数y=k/x在第一象限内的图像经过点D,交BC于点E.若AB=4,CE=2BE,tan∠AOD=3/4,求k的值.

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(7)

解析:

根据已知三角函数值,可设点D的坐标为(4a,3a),则k=12a²,根据已知线段之间的关系可求出点E的坐标;接下来结合点E在反比例函数的解析式上,解方程求出a的值,进而求出k的值,问题便可解答.

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(8)

四、二次函数的表达式及面积问题

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(9)

例4:

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(10)

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(11)

分析:

(1)我们知道抛物线与x轴的两个交点坐标A和B,因此我们可以设抛物线y=a(x+1)(x-4),把C点坐标代入即可求出a=-1/2.

(2)我们通常会过点P作PF⊥AB于F,然后求出直线CB的表达式及PF与CB的交点坐标,从而通过铅锤法求出△PBC的面积.

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(12)

如果我们连接OP,

初一数学思维题解题技巧(初中三年的数学题)(13)

透过转化,我们只需要知道点B、C、P的坐标即可.这样巧妙避开了引入新的未知点及求BC的表达式,从而使计算更简单.

欢迎同学们采用转化的思想来解决第3小问.

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