有关求解最值的问题很多，题目的类型也很多，一般都是放在选择题压轴题的位置上或填空题的压轴题的位置上。很多同学对动点几何最值问题很畏惧，不知如何下手分析，做题没思路。笔者认为这是模型积累不够的表现，几何的基础是图形的性质，而不同的图形性质可以搭建出各个模型，从而演化出我们熟悉的典型题目。
在日常学习中，同学们如果只是粗略地将所有练习题做一遍，而拒绝总结归类，可能最终并不会有太多收获。更重要的是，在遇到模型叠加及综合后，是否可以准确判断出相关模型及切入点，决定了一道几何题能否在规定时间内被攻破。其次，不会做几何辅助线，往往是对关键词不敏感。
做几何题的重点在于多种模型综合运用，对模型的熟练掌握直接体现为：题中出现关键字眼的时候可以马上在脑中反应出多种做法，并挑选出正确的做法。此外，对几何模型的掌握绝不能一知半解，否则很容易陷入错误解法的怪圈。今天我们推出一种解决最值问题的模型：定边对定角模型。
如图，在△ABC中，AB=4,∠ACB=90°，
（1）求△ABC的最大面积。
（2）求AC BC的最大值。
分析：本题中有两问，我们首先来研究第一问：
在条件中，我们可以知道AB的长为4, 如果以AB为底，那么底是确定的，即为定长，现在要求△ABC的面积的最大值，我们只需要让AB边上的高最大即可，所以可以过点C作CD⊥AB于D（如下图），则当CD最大时，△ABC的面积最大，所以我们将这类问题转化为求高CD的最大值问题。
在前面的学习中，我们已经知道，当直角三角形的斜边为定值时，斜边上的中线为定值,且等于斜边的一半，所以我们可以作出AB边上的中线CE(E为AB的中点),如下图：
通过以上步骤，我们可以知道△CED为直角三角形，CE是斜边，根据斜边大于直角边，我们可以知道CD＜CE=2, 而点C为动点，当点C在AB的垂直平分线上时，即△ABC为等腰直角三角形时，CD与CE重合，此时CE=CD,
故我们可以得到CD≤CE=2.这样我们就找到了高CD的最大值，从而可以计算出△ABC的最大面积为4×2×0.5=4.
（2） 接下来，我们继续研究第二问，需要求解AC BC的最大值为多少？
在前面的学习中，我们已经学习了要求两条线段的和时，我们可以通过截长补短法来解决，这种方法可以将两条线段和的问题转化为一条线段的长度问题。下面我按照这个思路给大家分析一下。
首先，我们延长AB到B',使得CB'=CB,连接BB',如下图所示。
通过恰当的作辅助线，我们可以知道AB'=AC BC，即将求AC BC和的问题转化为求AB'的长问题。根据上图我们可以知道∠AB'B=45°，而AB=4,所以我们可以快速定位到定边定角模型，点B'的轨迹是以AB为弦，圆心角∠AOB=90°的优弧。所以我们就可以快速画出点B'的轨迹。如下图所示：
由上图可知，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，OA=OB=2倍根号2，即⊙O的半径为2倍根号2，而AB'为⊙O的一条弦，我们知道，在圆中直径是最长的弦，所以当点C与O重合时,AB'最长，即AC BC的和最大。此时三角形ABC恰好是以点C为顶点的等腰三角形。动态演示如下：
定边定角模型中，以动点为顶点的三角形是等腰三角形时，三角形的面积最大，周长最大。这一个结论很重要，需要每个同学理解并牢记。
1．在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为（0，1）、（0，5）、（3，0），D是平面内一点，且∠ADB＝45°，则线段CD的最大值是______．
【解析】：∵点A、B坐标分别为（0，1）、（0，5），∴AB＝4，
作PH⊥AB于H，则AH＝BH＝2，取PH＝2，则△PAB为等腰直角三角形，
∴∠APB＝90°
∵∠ADB＝45°，∴∠ADB＝1/2∠APB，
∴点D在以P点为圆心，PA为半径的圆上，
∵线段CD要取最大值，∴P点在第二象限，P（﹣2，3），
∵CD≤PD PC（当且仅当C、P、D共线时取等号），
∴CD的最大值为PD PC，
2．如图，已知等边△ABC的边长为2√6，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值______．
【解析】：∵CD＝AE，∴BD＝CE，
易证△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE ∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE ∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是弧AB，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB ∠ACB＝180°，∴∠OAC ∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
3．如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝√3，点P在Rt△ABC内部，且∠PAB＝∠PBC，连接CP，则CP的最小值等于______．
【解析】：如图所示，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝√3，
∴tan∠BAC＝BC/AC=√3/3，∴∠BAC＝30°，
∴∠CBA＝60°，即∠1 ∠2＝60°，
∵∠PAB＝∠1，∴∠PAB ∠2＝60°，∴∠APB＝120°，
∴点P在以AB为弦的圆O上，∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，∴∠3＝∠4＝30°，
∴∠1 ∠2 ∠3＝90°，即∠CBO＝90°，
∠DAO＝∠BAC ∠4＝60°，∠AOD＝30°，
过点O作OD⊥AC于点D，∴∠DOB＝90°，
∵∠DCB＝90°，∴四边形DCBO是矩形，
∴DC＝OB，OD＝BC＝√3，
∴在Rt△ADO中，AD＝OD•tan30°＝√3×√3/3＝1，
∴DC＝AC﹣DC＝3﹣1＝2，∴OB＝OP＝2，
∴利用勾股定理可求得OC＝√7，
当点O、P、C在一条直线上时，CP有最小值，
∴CP的最小值为OC﹣OP＝√7﹣2．
变式．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为______．
【解析】：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC ∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
4．如图三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC＝______度时，AD有最大值_____．
【解析】：如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．
∵△BCD，△AOC都是等边三角形，
∴CA＝CO，CB＝CD，∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠OCD，易证△ACB≌△OCD，
∴OD＝AB＝3，
∴点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，
∴当D、O、A共线时，AD的值最大，最大值为OA OD＝4 3＝7．
∵△ACB≌△OCD，∴∠CAB＝∠DOC，
∵当D、O、A共线时，∠DOC＝180°﹣60°＝120°，
∴当∠BAC＝120度时，AD有最大值为7．故答案为120，7．
5．如图1，E、F分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，且AB＝2，若将△AEF绕点A逆时针旋转一周，在旋转过程中直线BE、DF相交于点P．
（1）在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，线段BE、DF有怎样的数量关系和位置关系，并就图2的位置加以说明；
（2）在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，线段PA的长度是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求当△AEF绕点A从起始位置旋转一周回到终止位置过程中，点P运动的路径长．
【解析】：（1）BE＝DF，BE⊥DF，如图1，
易证△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE ∠AGB＝90°，∴∠ADF ∠PGD＝90°，
∴∠DPG＝90°，∴BE⊥DF；
（2）如图1，取EF中点，连接PH，AH，
∵∠EAF＝∠FPE＝90°，
∴PH＝AH＝1/2EF＝√2/2，
∴点P，H，A三点共线时，PA最长为√2．
（3）连接BD，取BD中点O，连接OP，OA，如图2，
∵∠BAD＝∠BPD＝90°，
∴OP＝OA＝1/2BD＝√2，∴P在以O圆心，√2为半径的圆上，
当PA取最大时，PA＝OP＝OA＝√2，
点P运动的路径是以O为圆心，以√2为半径圆心角是60°的弧的位置，再返回到点A，从另一方向继续以点O为圆心以√2为半径旋转60°的弧的位置，再返回，即：4段以点O为圆心，√2为半径圆心角是60°的弧的弧长，
∴点P运动的路径长为4×π√2/3＝4π√2/3．
6．问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）
【解析】：（1）如图记为点D所在的位置．
（2）如图，
∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB．
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P₁，P₂两点，
连接BP₁，P₁C，P₁O，∵∠BPC＝90°，点P不能在矩形外；
∴△BPC的顶点P₁或P₂位置时，△BPC的面积最大，
作P₁E⊥BC，垂足为E，则OE＝3，
∴AP₁＝BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，由对称性得AP₂＝8．
（3）可以，如图所示，连接BD，
∵A为▱BCDE的对称中心，BA＝50，∠CBE＝120°，
∴BD＝100，∠BED＝60°
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取弧BED的中点E′，连接E′B，E′D，
则E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D为正三角形．
连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A＝AC′，连接BC′，DC′，
∵E′A⊥BD，
∴四边形E′BC′D为菱形，且∠C′BE′＝120°，
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO OA＝E′O OA＝E′A，
∴S△BDE＝1/2•BD•EF≤1/2•BD•E′A＝S△E′BD，
∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′＝2S△E′BD＝100²•sin60°＝5000√3（m²）
所以符合要求的▱BCDE的最大面积为5000√3m²．
1-模型识别：两定（A、B）一动（C），AB长固定，∠ACB固定，
求△ABC周长及面积最大值；
2-计算模型建立：做△ABC外接圆，
3-模型结论：当△ABC为以C为顶点等腰三角形时，其周长和面积最大。
