这个错误例子直接参见文尾
讨论这个问题前先对齐一下几个基本理解，如果对下面任何一项不认同，讨论就可以终止了：
- 0.999...，0.333...，1，1/3都是实数，都有确定的值
- 0.333...，表示小数位有无穷多个3构成的有理数，它不等于任何一个有限位数的0.333..3。很显然，它不等于0.3，不等于0.33，不等于0.333，以此类推。同时0.333...是序列｛0.3， 0.33，0.333，...｝的极限
- 如果A=B，B=C，那么A=C
错误1：文中多处把0.333...写为0.333..3，这两种写法有巨大的差异，混淆了有限与无限。姑且认为只是笔误。
错误2：（严格说不算错误）文中的等比数列求和公式，是有限项数列求和的公式。0.333...是无穷多项等比数列求和，当公比q<1时，求和公式为：
0.333...=S∞=a1 /（1-q），a1=0.3，q=0.1，带入即可求得=1/3
当然，也可以求Sn，n->∞时的取值，即0.333...=Sn，n->∞=1/3，同样＝1/3
有趣的是，原文中，自己都已经证明出了0.333...=1/3，结论却说不等于：
原文写到
0.333...x3 = 1- 0.1n次方，其中n趋于无穷大。
接下来又写到
“1- 0.1n次方，其中n趋于无穷大 ”这句话用极限表示计算结果=1
把这两句话和在一起，即可得出0.333...=1/3（见开头理解3）
错误3：混淆了函数与实数取值。文中列出的函数，f（n）= 1-0.1n次方，又画图解释了曲线0.333..3x3 与1的差，得出结论“无限接近但不等于1”
但是f（n）是什么？是n与1-0.1n次方的一组映射关系。f（1）=0.9，f（2）=0.99，这些都不等于0.333..x3，自然相减会有差，有什么好奇怪的？（见开头理解2）
那么0.333..x3=？它的值＝f（n），n趋于无穷大，即n为任意确定整数时f（n）都不等于0.333...x3，只有当n->∞，才是0.333...x3的唯一确定值，而这个值通过极限计算，结果严格=1（见开头理解1），这个结果其实文中自己都已经计算出来了，不信看上面“接下来又写到”那里。
错误的原因在哪？其实只要引入极限的概念，就必然得出0.999...=1，所以，所有反驳观点都会说极限证明是循环论证不能用，而文中自己却使用极限概念，还得出个自相矛盾的结果。
现代数学极限的概念都是使用e -∂语言，
同济大学版高等数学 上册
文中的核心其实是想表达无穷小≠0，翻开任何一本高等数学教材，都能看到，无穷小的几个重要性质
第一，无穷小不是一个很小的数，所以原文中1与函数曲线的差并不是无穷小，而只有在n->∞时才是无穷小，这个时候才是1与0.333...x3的差。而无穷小小于任意给定的正数，所以这个差通过极限计算严格=0。
第二，0是无穷小中的唯一常数
说到这就不用再讲别的了吧。引用知乎网友的一句话，一大部分人学习高数数分的最大障碍，认为无穷小是一个比0大比其他正实数小的实数
另外错误的关键就是没有真正理解有限与无限，离散与连续， 整数与实数的概念，只有理解了这些才能迈入高等数学的大门。特别是实数的稠密性，完备性，连续性
那么如何证明0.999...=1，或者0.3333...=1/3呢？初等数学的证明就不用了，这里引用几个极其简单，但不是那么严谨的证明。
1.利用极限的唯一性
首先，0.333...是序列｛0.3， 0.33，0.333，...｝的极限，或者
0.999...是序列｛0.9， 0.99，0.999，...｝的极限
其次1是0.333...x3的极限，或者0.999...的极限（原文中自己认可的）
根据极限的唯一性，所以1=0.999...
同济大学版高等数学上册
2，假设1≠0.999...之间还有其他的数，那么1与0.999...的差必然是0.0000...01
但是因为减数有无限多位9，所以差里也必然有无限多个0，0.000...，无穷多个0，永远没有机会写最后的1，所以这个差只能是0
这里估计很多人看了会觉得别扭，反直觉，这是因为实数相等的判定和日常，7=7这样整数判定方式不同，因为实数是稠密的，完备的，连续的。
实数轴是没有空隙，任意两个确定的实数的关系要么是大于，小于，要么等于，没有其他。两个不相等的实数中间必然还有其他实数，而如果两个实数之间没有其它实数了，则他们必然相等。
3，根据实数相等的定义
两个实数相等的判定，不是“数轴上它们都是第102个点，所以相等”这样的方式，因为实数是稠密的，连续的，完备的，而是：
你可以想象它们的差是任意一个很小很小很小的正数，注意是任意的。然而不管这个差有多小，如果都还能再找到一个确定的位数N，它们在比较到这个第N位时达到了你给定的这个小差，然后，我都能告诉你，如果继续接着算到第N位以后，这两个实数的差比你任意给的那个小差还要小，如果这个小差不管取什么值都是这样的结果，那这两个实数就相等。
简单说就是，不管你觉得它们的差有多小（确定的有限），我都能告诉你实际比你想的还要小（因为是无限）。
所以，并不是“因为无限接近，它们就不等”，这样朴素的直观感觉，而是有严格逻辑的。而这正是数学无穷小危机已经解决了的问题。
其实无限接近并不是没达到，而是已经严格相等了（见上面的解释），否则如果达不到的话，阿基里斯就永远追不上乌龟了，而事实是在有限的时间内乌龟就被追上了，当然你还可以搬出普朗克，说空间是不连续的，然而实数想到的定义也解决了这个追乌龟问题。
引用网友的证明
4，利用戴德金分割证明
附录-被讨论的错误例子
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