8.24
知识分子
The Intellectual
历史经验表明，数学强国往往也就是世界强国 | 图源：pixabay.com
导 读
“历史上数学发达中心的迁移，同社会政治、经济重心的迁移基本是吻合的。”
撰文 | 王永涛（北京航空航天大学数学在读博士）
责编 | 钱炜
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数学文化在数学强国中发挥着重要的作用和影响。法、德、俄等当代数学强国的经验都启示我们，数学在全社会范围的普及和重视程度，对一个国家数学的发展乃至整个国家综合国力的提升都具有重要的意义。当前，我国数学文化的土壤还不够深厚，公众对数学研究的了解和兴趣十分有限，而专业科研工作者又往往对自己的研究领域之外关注较少。
今天，数学学科从高度分化的阶段又逐渐开始呈现出重新走向交叉融合的趋势，我国数学发展要走向强盛，就需要在加强数学文化氛围方面付出更多努力。
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从ICM看数学强国
如何看当今有哪些数学强国，一个参考标准就是菲尔兹奖的获奖情况。
今年，四年一度的国际数学家大会（ICM）已经正式落幕，法国、美国、英国、乌克兰各一人获得菲尔兹奖。一个国家获得菲尔兹奖的情况可以很好地反映其数学实力。
图1 2022 菲尔兹奖得主（从左至右）：Hugo Duminil-Copin，许埈珥，James Maynard，Maryna Viazovska）| 来源：ICM 官网
从国籍的角度统计，菲尔兹奖获奖国籍-人数柱状图如下。蓝色代表的是获奖累计总人数，深红色代表的是其中外裔的人数。从图中不难看出前四名：美国19人、法国13人、英国8人、俄罗斯5人；美、法、英、俄四国在人数上，占据 “大半个江山”；如果把俄罗斯和苏联作为一个 “泛俄地区”，累计8人。而曾经同是世界数学中心的法国和德国，法国依然强劲，德国就显得有些没落。
图2 历届菲尔兹奖统计情况（1936-2022）| 制作：王永涛
菲尔兹设立菲尔兹奖的最初目的，就是为促进北美的数学发展。因为历史原因，“二战” 之后，美国数学崛起，德国走向没落。从图中也不难发现，美国、法国、英国作为三强，同时也是外裔获奖最多的国家。主要因为早期德国的屠杀、战败导致人才流失；苏联解体，也导致人才流失；以及欠发达、不稳定国家和地区人才流失，这些人才大部分流向了美国、法国和英国。
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历史上数学中心的迁移
为什么美、法、英、俄、德能成为数学强国？我们可以从历史中寻找答案。北京大学数学科学学院教授、中科院院士张恭庆曾说过，“数学实力往往影响着国家实力，世界强国必然是数学强国” [1]。
中科院数学与系统科学研究院研究员、数学史专家李文林也说过，“历史上数学发达中心的迁移，同社会政治、经济重心的迁移基本是吻合的” [2]。
从15世纪开始，数学活动的中心由于资本主义的兴起又返移欧洲，并随着资产阶级革命重心的转移而在欧洲内部不同的国家之间转移着——
◢ 英国的资产阶级革命带来了它的海上霸权，同时也造就了牛顿学派、皇家学会的诞生；
◢ 通过18世纪的法国大革命，法国数学取代英国而雄踞欧洲之首，巴黎在相当长一段时间内成为名副其实的 “数学活动的蜂巢”；
◢ 法国维持其数学优势直到19世纪后期，19世纪70年代以后，德国的统一运动又使德国数学起而夺魁，哥廷根大学成为全世界数学家向往的 “麦加”；
◢ 德国数学家的黄金年代，由于法西斯的浩劫而一蹶不振，“二战” 后，美国便成为西方数学家的一片乐土了 [2]；
◢ 苏联的数学在二战前后发展十分强劲，在20世纪培育了上百位数学家，其中莫斯科大学成为诞生数学家的摇篮。
总的来说，数学的发展满足了当时资本主义制度在欧洲各国政治、经济与军事等领域的发展需要。政治上，在欧洲经历了漫长黑暗的中世纪后，数学的发展在推动着自然科学进步的同时，也作为一种革命动力，加入了冲破宗教束缚的战车，有助于人们思想的解放；经济上，由于各个资产阶级国家陆续开展了工业革命，数学的发展也直接或间接促进了当时生产力的发展；军事上，西欧各国发展的不平衡加剧了各国之间利益矛盾而引发的战争，再加上海外殖民，需要大力发展数学来满足军事需要。这对于社会主义国家苏联同样适用。
以下将以欧洲几个主要国家的数学发展作为案例详细介绍。
1 德国篇——哥廷根大学
哥廷根大学几乎培养了全球的数学家。而克莱因是哥廷根大学的实际掌舵人，也是一位帅才型的数学家。
克莱因的声望吸引着世界各国，特别是美国的学生。一位英国青年向剑桥的朋友报告哥廷根数学系的情况时写道：“我们这里的国籍很杂，五个美国人，一个瑞士籍法国人，一个匈牙利人，一个意大利人，其余少数几个则有德国血统。” [3]
下面主要从三方面讲一下克莱因的数学教育。
（1）重视教学
授课。克莱因的教学极为出色。他编写的讲义，不仅文字流畅、条理清晰，而且结构严谨，对读者有很大的吸引力。上课之前，他总是做充分准备，同时对讲稿中思路不清、表述不足的地方进行加工、修改，并对教材内容、数学公式、图表和引文等进行周密的安排，做到胸有成竹、一丝不苟。
克莱因讲课时，思路清晰，重点突出。他认为学生应当自己思考、分析，去完成定理的证明。学生要想掌握课堂上讲授的全部内容，课后还需要认真地复习、翻阅参考书和完成作业等，这样往往要再花几倍的时间。他的这种教学方式有效地培养了学生的自学能力、分析问题与解决问题的能力。
克莱因很讲究板书，他在讲课过程中的板书从不马上擦掉，最后便形成讲课内容的一个完好的概括。他把每一个问题都写得恰如其位、井井有条，给人以美的感受。
重视讨论班。克莱因很重视讨论班的教学方式。他认为这种方式可以培养学生自觉的学习能力和激发学生学术研究的兴趣。他常把自已正在研究中的问题提到讨论班上来，同时把解决问题的思路介绍给学生；有时还让学生在黑板上讲解所学的论著，然后让大家提出问题进行讨论。
散步。数学系的大小事情是在每星期四下午三点的数学散步中解决的。这种散步是非正式的课程，系里的教学人员，学生都可参加。以谈论数学问题为主，当然也包括一些系里的事务。
教师要求。克莱因还认为教师应具有“较高的数学观点”，他认为在数学教学中讲点数学史是必要的。
（2）广揽人才
他广揽人才，建立实力雄厚的数学教授班子，如希尔伯特、闵可夫斯基、诺特、外尔等大家，振兴哥廷根数学学派。
（3）数学教改
他大力推动数学教改，基础数学与应用数学并重，并将教改推广到全德国，培养出一大批科学与技术兼通、既有深邃眼光又能解决实际问题的人才。他还大力提倡应用数学，创建了哥廷根应用数学学派，令哥廷根大学在这一领域很快就居于世界前列。后来有些国家群起效仿，相继跟上。与此同时，他竭力促进数学、力学和其他基础学科在工程技术中的应用，并在哥廷根大学成立了应用力学系，推动了应用力学的发展。克莱因慧眼识珠，引进普朗特，哥廷根应用力学学派从此发扬光大。
除了重视高等数学教育，克莱因还组织科学教育改革和普及数学知识。他亲自参与制定、改进和扩大德国中学科学教育的计划；提倡第一流数学家向非数学专家作通俗讲演；组织编纂30卷的数学辞典，以提高全社会的科学与数学水平。
克莱因的主要著作有《高等几何学》、《非欧几何学》、《高观点下的初等数学》、《关于19世纪数学发展的讲义》等。此外还有《关于黎曼几何的代数函数论》、《20面体讲义》、《自守函数论讲义》等论文。尤其令人称赞的是他编纂的30大卷数学辞典，给数学教育工作者带来很大的方便。
2 俄罗斯篇——莫斯科大学
俄罗斯数学从19世纪开始崛起，到了20世纪前期，苏联已成为世界数学强国之一。1958年，苏联成功发射了第一颗人造地球卫星，震撼全球。当时的美国总统肯尼迪决心要在空间技术上赶超苏联。他了解到：苏联成功发射卫星的原因之一，是苏联在与此相关的数学领域处于世界领先地位。此外，苏联重视基础科学教育（包括数学教育），也是它在基础科学研究中具有雄厚实力的一个重要原因，于是，美国政府下令大力发展数学 [1]。
苏联科学家的论文大多都是以俄文发表的，因此，美国数学会、英国伦敦数学会联合起来，将俄国几乎所有的知名综合数学杂志以及众多的专业数学杂志一字不漏地全部翻译成英文。大量的苏联教科书被翻译成英文等多种文字在全世界发行并应用，也说明了人们对苏联数学教育、科研体系的认可。直到今天，美国很多出色的数学培训机构都跟前苏联那套体系非常相似。
纵观整个20世纪的数学史，苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量。百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，而这些优秀数学家大多毕业于莫斯科大学。
（1）师徒传承：叶戈洛夫——鲁金——柯尔莫哥洛夫——盖尔范德
叶戈洛夫讨论班最大的成果是收获了数学大师鲁金。此人又是那种承前启后的人物，本身是实分析的大师，编写了一些经典教科书，同时又培养了一批大师，如大名鼎鼎的柯尔莫哥洛夫。在柯尔莫哥洛夫时代，莫斯科学派迎来它的巅峰时刻。
柯尔莫哥洛夫是一位伟大的教师，受他影响的数学家已不计其数。直接受他指导的学生数目也十分惊人，恐怕是一个难以逾越的记录：67，其中成为苏联科学院院士的就有14人。
1932年，没有读完高中、未上过大学的盖尔范德被莫斯科大学破格录取为研究生，师从柯尔莫哥洛夫。1943年起，盖尔范德在莫斯科大学组织自己的数学讨论班，把讨论班办成了选拔合作者及培养数学新秀的中心，最终发展成为闻名全球的 “盖尔范德数学讨论班”。直到盖尔范德1990年移居美国，他把讨论班的传统也带到了美国罗格斯大学。
图3 盖尔范德 | 图源：《数学译林》1990年第4期
（2）高级讨论班
举行高级数学专题公开讨论班发挥了关键作用，这在莫斯科大学习以为常。这些讨论班向所有人开放——从有才华的高中生到被禁止进入官方机构的学者，促进了代际和机构间的联系，凝聚了人心。这些公开讨论班中规模最大、最负盛名的还属 “盖尔范德讨论班” [5]。不少数学家的回忆录都说其盛况时 “大概得有两三百人参加”。
（3）中学教育
在基础教育阶段，为培养优异的少年数理人才，柯尔莫哥洛夫开办了数学物理寄宿学校（人称柯尔莫哥洛夫学校）。他晚年从事中学数学教学改革，力图提高整个苏联的数学教育水准。他为此举办讨论班，编写教材，组织试验，亲自到中学讲几何课，耗费了无数的心血。
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如何建设未来中国的数学文化
我们可以思考一个问题，为什么外国有那么多年轻的数学家呢？就是这些国家长期以来，数学文化发达。
数学文化不仅包含数学的思想、精神、方法、观点、语言，及它们的形成和发展，还包含数学家、数学史、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等等。
这里还可以从另一角度解读数学文化，我们还需关注国家或社会是否具备有利于数学发展的文化环境。比如，我们都知道巴西的足球水平很高，与其有浓厚的足球文化氛围不无关系。在巴西，足球真正成为一种全民运动的游戏。在巴西的街头巷尾，不论是在城市还是在贫民窟，随处可见足球的身影。目前，我们国家的麻将、象棋的普及程度相当高，总能在街头巷尾看见对弈和围观，但对数学有兴趣的人却显然要少得多。
李文林老师在与笔者等人的一次交流中提到，他在英国咖啡厅遇到一位老太太，听说他是学数学的，非常激动，向他聊起了自己中学时学数学的情景。而在美国，一位家庭主妇玛乔丽在业余时间解决了五边形密铺的问题。美国数学会总部装修时，新地板就采用了玛乔丽发现的五边形密铺。可见，在一些国家，数学是非常 “接地气” 的科学，除数学家以外的普通人也乐于讨论、研究它。
近二十年，我国政府已陆续出台了有关数学文化教育的相关政策。2002年6月，我国正式颁布《中华人民共和国科学技术普及法》，是目前世界上唯一一部专门针对科普的国家法律。2006年3月，我国发布实施《全民科学素质行动计划纲要（2006—2010—2020）》，是新中国成立以来第一部有关提高全民科学素质的纲领性文件。2021年7月，中国数学会数学教育分会正式成立。
有了这些政策与相关机构的支持，笔者想从四个方面来展望未来数学文化在中国的发展。
首先应发挥数学家在数学教育中的作用。自古以来，许多数学家都将数学教育放在重要的位置。在20 世纪初，德国数学家克莱因倡导以“函数为纲”的数学教育改革运动，英国数学家贝利制定了实用数学教学大纲，法国数学家阿达玛和勒贝格等编写数学教科书，美国数学家摩尔提倡混合数学，日本数学家小平邦彦和广中平佑在1960 年代对 “新数运动” 的批判，我国的数学家华罗庚等人对数学教育的关心…… 这些历史案例展现了数学家与数学教育的密切关系 [5]。数学家由于其特殊地位，在数学教育的发展过程中发挥着至关重要的作用。
过去，我国出现过 “精英教材” 的时代，很多著名专家学者参与了教材编撰，甚至华罗庚这样的超级专家也带队编写中小学数学教材。近年来，在我国也有不少数学家关注、参与数学教育改革及数学课程标准的制定工作。
希望未来有更多的数学大家关注数学教育，对于数学的发展、数学学习的规律有更深刻的把握并用以指导学生，将有利于培养出有数学素养的学生，也有利于其数学研究水平的提高。
其次，目前，我国每年数学科普图书的出版数量已经非常可观，但在其他方面还有比较大的进步空间。比如体量不小，但影响范围有限，县乡的中小学生很少接触；内容上侧重于初等数学，而关于高等数学的科普少，受众也窄；现在也比较缺乏年轻有为的数学科普作家，希望未来能接连不断地诞生优质的数学科普作品。
图4 出版数量超过10本的数学科普核心作者情况 | 来源：《新中国成立以来数学科普图书发展研究：基于丛书的分析》2021年
再次，北京很多高校都有数学类的社团，笔者认为数学社团能发挥的作用很大，它对于提高学生数学兴趣、了解数学史和学习数学思想都很有帮助。数学社团的活动可以主要包括四个方面：日常答疑、考前辅导、竞赛培训等；举办大型数学讲座；拜访数学老教授；组织学习讨论数学思想和数学史。高校数学社团也是一个传播数学文化的非常好的实践平台，应该更开放些，积极利用外界好的数学资源，更好为大学生服务。
最后，我国很多人在谈及数学研究时，热衷于把 “陈景润” 和 “1 2” 挂在嘴边，却很少有人了解其具体含义。这一方面反映了四十多年前的报告文学《哥德巴赫猜想》的影响力之大之久，另一方面也反映出与数学成果宣传相对应的数学思想普及程度不足。
今年是中国队在国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中第23次获得世界第一。自1985年中国首次参加奥赛以来，这30余年间，我国参赛选手共获得174枚金牌，平均单次参赛可获金牌数为4.7枚，这些数据都是世界第一。然而菲尔兹奖获得者却为0人。可以说，中国有数学天分的学生很多，但他们是否都发自内心热爱数学、对数学研究充满乐趣，以及未来在数学道路上能走多远，是一个值得深入思考的问题。
2022国际数学家大会（ICM）有14名中国本土数学家受邀做报告。回首从1928年第一次有中国人在ICM发声，到如今越来越多中国数学家受邀在ICM做报告，我国数学家在国际数学界的影响力逐渐提高。尤其是21世纪以来，我国已成为数学大国，实现了陈省身先生生前的预言，并在继续向数学强国的更高目标迈进。
基础数学研究几乎不需要昂贵的仪器，而只需大脑和纸笔。如果未来各行各业都有更多人热爱数学，以讨论数学、研究数学为乐趣，那时我们国家的数学实力一定会强盛起来。而历史经验表明，数学强国往往也就是世界强国。
（原文为作者在2022年第十一届全国数学文化论坛上的发言，发表于“数学经纬网”公号，有删改）
参考文献：（上下滑动可浏览）
[1]张恭庆.数学与国家实力[J].紫光阁, 2014(08): 76-78.
[2]张奠宙. 二十世纪数学经纬[M]. 上海：华东师范大学出版社，2002.
[3]李文林. 数学史概论（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2021.
[4]邓明立,刘献军.盖尔范德数学讨论班——学术共同体的典范https://mp.weixin.qq.com/s/-YgkvFgLlz-5qJSU5qI0pg
[5]代钦.小平邦彦的数学教育思想——兼论数学家与数学教育家的争论[J].数学通报,2007(06):20-24.
制版编辑 | 姜丝鸭
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