本篇文章将通过傅里叶变换引出拉普拉斯变换(Laplace Transform),并给出拉普拉斯变换的常用性质与定理。(由于昨晚发的有笔误,重新发了,请大家见谅[打脸])

拉氏变换常用公式定理(让傅里叶给你讲讲拉普拉斯变换)(1)

Pierre-Simon Laplace

首先先摆出(单边)拉普拉斯变换的官方定义:

其中s是复数频率参数

和为实数,F(s)称为函数f(t)的拉普拉斯变换。

接下来再给出傅里叶变换的官方定义:

称为函数的傅里叶变换。

即说明了一个满足狄利克雷(Dirichlet)条件的非周期函数若是绝对可积的,就可以展开成傅里叶积分,傅里叶积分就是在频域上对信号进行分解,分解为一系列的窄脉冲,傅里叶积分的实质就是将信号看作是由无穷多个谐波所组成,也可以说成是将函数$f(t)$分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上。(没看明白傅里叶变换物理意义的同学可以参考一下我之前的文章:频谱分析——频谱概念(傅里叶变换、级数、积分及物理意义) ,傅里叶级数物理意义的直观理解:利用傅里叶级数逼近方波信号, 离散傅里叶变换(DFT)的详细推导与举例 )

傅里叶变换是沟通时域和频域的桥梁,傅里叶变换的问世给人们提供了通往频域世界的大门,但是,傅里叶变换有一个硬条件,即只有满足狄利克雷条件的信号才能用傅里叶变换,然而很多的函数都不是绝对可积的,比如,这就使得不少工程师力不从心[流泪]。

为解决这一问题,机智的数学家们这样想:你不是不满足绝对可积吗,那我就给你乘上一个具有快速衰减性质的函数,让这个帮你满足绝对可积的要求[机智]。

怎么样,厉害吧,OK,思路理清楚了,再把上面的大白话翻译成数学语言说一遍:

给一个非绝对可积的函数f(t)乘一个具有快速衰减性质的函数帮你满足绝对可积的要求:

那么这个函数的傅里叶变换就变为

此时令

就得到了拉普拉斯变换的官方定义:

因此可以认为,与傅里叶变换的区别在于,拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换有两个变量,因此适用范围更广。

接下来为方便运用,先不加证明地给出自动控制中拉普拉斯变换的性质与定理(转自wiki百科)

性质:

拉氏变换常用公式定理(让傅里叶给你讲讲拉普拉斯变换)(2)

图片转自维基百科

初值定理(Initial value theorem):

终值定理(Final value theorem):

但是这里要注意终值定理取的是s→0的极限,因而s=0的点应该在sF(s)的收敛域内,否则是无法应用终值定理的。

在自动控制原理中,我们尤为关注一个响应的终态,利用终值定理就可以直接求得的终态稳定值,意义在于简化了繁琐的求解过程。

例如,求解一个一阶惯性环节的阶跃响应:

若使用普通的拉普拉斯变换,计算步骤为先求C(s)的拉普拉斯反变化,再求极限:

而使用终值定理就非常简便,只需要一步:

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