第100回
蓬莱仙阁，观音菩萨出难题
破译密码，师徒四人上天界
上回说到观音菩萨建议以抢答方式进行喝酒得到大家的赞同，她指着眼前的餐桌说："我出的题都跟这餐桌有关，它事实上就是如图1的两个同心圆中，大圆的十二条弦把大圆二十四等分，且每条弦都与小圆相切。想必大家都清楚了吧？那好，第一题：请问这大圆上的每条弦所对的圆心角是多少度？"
"八戒，你是第一个敲响杯子的，你来回答。"
"是我吗？"八戒有点懵了的感觉说，"让我想一想……"
"大家注意了，每道题的回答时间限时三分钟。"菩萨补充说，"大家要想好了再抢。"
"大圆的一条弦所对的劣弧是由7条相等的弧组成的，每条弧是大圆的二十四分之一，为15°，7×15°=105°，所以大圆的每条弦所对的圆心角为105°."
"恭喜八戒答对了，喝酒你随意，其他人各饮三杯。"菩萨说，"请听第二题：已知大圆的弦长为2米，请问圆环的面积是多少平方米？"
"何仙姑，你来回答。"
"答案可以用近似值吗？"何仙姑问道。
"不可以，用准确值回答。"菩萨再次补充说，"接下去的问题答案一律用准确值回答。"
"准确值是л平方米。"
"回答正确。"菩萨问，"你是如何算出来的？"
"这还不简单吗？"何仙姑说，"设大圆的弦AB切小圆于点C，圆心为O，连接OA、OC（如图2），则AC=1米，OC⊥AB，由勾股定理，得：OA2-OC2=AC2=1。
又圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积
=л·OA2-л·OC2=л(OA2-OC2)= л×1=л(平方米)。"
何仙姑的回答赢得了热烈的掌声，大家自觉地按规矩喝了该喝的酒。
"最后一题：转盘(小圆)的半径是多少？"菩萨问题提出后又马上强调说，"答案不能用三角函数表示。"
"八戒，你知道答案了吗？"片刻后，八戒正要敲响杯子被悟空及时制止。
"AC=1米，根据小圆的半径OC与AC的比等于tan∠OAC不就可以得到OC=tan∠OAC吗？"八戒说，
"而∠OAC=90°-∠AOC=90°-52.5°=37.5°，
所以小圆的半径不就是tan37.5°的值吗？"
"那你知道tan37.5°等于多少吗？"悟空嗔怪道，"不知道瞎抢啥呢？"
又过了片刻还是无人抢答。
"唐玄奘，看来得你这个老蒋出马了。"
"阿弥陀佛！"唐僧说，"让贫僧试试吧：
37.5°角是75°角的一半，把37.5°扩大成75°，再根据经验把75°分为30°和45°.
把图2中的△OAC分离出来到如图3，延长OC到D，使CD=CO，连接AD。则AD=AO，∠OAD=75°，∠ADO=∠O=52.5°。
接下来把75°的这个∠OAD分成30°和45°两个角。
作∠ADE=45°，DE交AO于E，交AC于F。
作AG⊥DE于G。则∠AEG=60°，∠EAG=30°。
设OC=CD=x，AO=AD=y，则直角三角形边角关系，得
AG=DG=y/√2，
EG=AG/√3=y/√6，
AE=2EG=2y/√6，
所以AE/AO=2y/√6:y=2/√6。
设CF=a，GF=b，则AF=1-a，DF=y/√2-b，EF=y/√6 b，
由△AGF∽△DCF，得
AG/DC=GF/CF=AF/DF，
所以y/√2:x=b/a=(1-a)/(y/√2-b)，
即y/(√2x) =b/a=(√2-√2a)/(y-√2b)，
设y/(√2x)=b/a=(√2-√2a)/(y-√2b)=k，则y=√2kx，b=ka，
代入(√2-√2a)/(y-√2b) =k，得
(√2-√a)/( √2kx-√2ka) =k，整理，得
√2(1-a)/[ √2k(x-a)] =k，即(1-a)/[k(x-a)] =k，
所以k2=(1-a)/(x-a)，
1004
过点E作EH⊥AC于H（如图4）。则由△AEH∽△AOC，得
EH/OC=AE/AO，即EH/x=2/√6，EH=2x/√6.
由△AEF的面积等于1/2·AF·EH=1/2·EF·AG，得
AF·EH=EF·AG，
所以（1-a）·2x/√6=（y/√6 b）·y/√2，
所以（1-a）·2x/√6=（√2kx/√6 ka）·√2kx/√2，
整理，得2x（1-a）=（√2kx √6ka）·kx，
即2(1-a)=k2 (√2x √6a)，
所以2(1-a)=(1-a)/(x-a) (√2x √6a)，
两边除以（1-a），去分母，得
2（x-a）=√2x √6a，
整理，得：（2-√2）x=（√6 2）a，
所以x/a=(√6 2)/(2-√2)
=[(√6 2)(2 √2)]/[(2-√2)(2 √2)
=√6 √3 √2 2，
即CD/CF=√6 √3 √2 2，此乃∠CFD的正切值，又∠CFD=82.5°，
所以tan82.5°=√6 √3 √2 2，
由此可得tan7.5°=a/x
=(2-√2)/( √6 2)= √6-√3 √2-2。
1005
如图5，作△ODE的底边DE上的高OM。
在Rt△OME中，
∠OEM=60°，OE=OA-AE=y-2y/√6，
所以OM=OE·sin60°
=(y-2y/√6)·√3/2=√3/2y-y/√2,
由△ADE的面积 △ODE的面积=△OAD的面积，得
1/2·DE·AG 1/2·DE·OM=1/2·OD·AC，
即1/2·DE·（AG OM）=1/2·OD·AC，
所以DE·（AG OM）=OD·AC，
因为DE=DG GE=y/√2 y/√6，
AG=y/√2，OM=√3y/2y-y/√2，OD=2x，AC=1，
所以(y/√2 y/√6)·(y/√2 √3y/2-y/√2)=2x·1，
整理，得(y/√2 y/√6)·√3y/2=2x，
即√3y2/(2√2) y2/(2√2) =2x，(√3 1)y2=4√2x，
y2=4√2/(√3 1) x=2√2 (√3-1) x.
在Rt△OAC中，由勾股定理，得OA2=OC2 AC2，
即y2=x2 1，
所以x2 1=2√2 (√3-1) x，
即x2-2√2 (√3-1) x 1=0，
△=[2√2(√3-1)]2-4
=8(4-2√3)-4
=28-16√3
=4(7-4√3)
=4(2-√3)2，
所以x=[2√2(√3-1)±2(2-√3)]/2
=√2 (√3-1)±(2-√3)，
因为OC<AC，即x<1，
所以x=√2(√3-1)-(2-√3)
=√6-√2-2 √3
=√6 √3-√2-2.
所以转盘（小圆）的半径为(√6 √3-√2-2)米。
哎呀，累死贫僧了。"
"恭喜唐玄奘。"观音菩萨说，"今天把你们师徒四人和八仙召集在一起，其实并非是为了喝酒……"
"那是为了何事？"师徒四人齐声问道。
"自从你们师徒四人西天取经归来已有数十载。"菩萨说，"数十年来，你们所做的每一件善事天界众神们都看在眼里。你们师徒智慧超群，心存善念，已通过了天界的考验，今天受众神仙之托，让八仙作证，把你们师徒引渡到天界去。"
菩萨说完后拿出一把钥匙说："这是打开通往天界大门的钥匙，密码是——"
"密码是多少啊？你快点说。"
"上天交代说了，密码是多少你们得自己破解。"菩萨说，"念在与你们多年交情的份上，我给你们透露个天机：密码是个六位数，它是某个三位数的平方，巧的是它的末三位数又恰好是这个三位数。记住了，密码你们最多只能输入三次，如果连续两次输错了，你们就永远上不了天界当神仙了。"
菩萨刚说完，连同八仙便化作一团白烟消失了。
"怎么办呢师父？"
"大家别急，都开动脑筋想一想：哪个三位数的平方，其末三位数又恰好是这个三位数呢？"
"要是一位数的平方，其末位数恰好是这个数那就简单了。"沙僧说，"这样的数无非是0或1或5或6."
"是啊，要是两位数的平方，其末两位数恰好是这个两位数的也好办。"八戒说，"这样的两位数我知道有一个25，因为25的平方=625，其末两位数恰好也是25。"
"还有一个76呢。"悟空说。
"76的平方=5776，其末两位数也恰好是76啊！"八戒惊奇地问，"猴哥，你是怎么发现这个76的呢？"
"因为两位数的平方，其末两位数恰好要等于这个两位数，首先必须确保末位数是0或1或5或6。"悟空说，"对于末位数是0或1的两位数，经验算从10、11到90、91这18个数的平方，其末两位数都不是10、11、20、21、…90、91.
而个位数为5的两位数，从15、25到95这9个数，分别经过计算知道只有25的平方等于625，其末两位数仍然是25；
对于末位数是6的两位数，从16、26到96这9个数，经计算知道只有76的平方等于5776，其末两位数仍然是76。"
"对于三位数的平方，其末三位数仍然是这个三位数的数，首先是不是也必须确保它的末两位数是25或36呢？"八戒说，"要是这样的话就简单了。"
"是啊，二师兄，要是那样的话只需要分别对末两位数是25和36的三位数分别求平方验证就可以了。"沙僧说，"对于末两位数是25的三位数，从125、225到925这9个数，经计算知道只有625的平方等于390625，其末三位数仍然是625。；
对于末两位数是76的三位数，从176、276到976这9个数，经计算知道只有376的平方等于141376，其末三位数仍然是376。"
"对于三位数的平方，其末三位数仍然是这个三位数的情形，我可以肯定是末位数必须是5或6."悟空说，"但末两位数是否一定是25或76我就不敢肯定了。还是让师父说说吧。"
"为师也不敢确定。"师父说，"你们的猜测要是正确的话，那我们打开通往天界的密码不是390625就是141376了。但要是存在着其他的数，那我们就有可能前功尽弃了。为了慎重起见，我们还是认真探索一下吧。"
"怎么探索呢？"
"首先，设所求的三位数为100x 10y z，则依题意，得
(100x 10y z)2=1000a (100x 10y z)(a为正整数，且10≤a≤998)
所以(100x 10y z)2-(100x 10y z)=1000a，
左边因式分解，得：(100x 10y z)(100x 10y z-1)=1000a，
因为右边1000a的末位数是0，
所以（100x 10y z-1）与（100x 10y z）乘积的末位数是0，
又（100x 10y z-1）与（100x 10y z）的个位数分别是z-1和z，它们是连续整数，
所以z-1和z只能是0和1，或4和5，或5和6，
所以z只能是1或5或6．"师父说，"下面分别对z的取值进行讨论：
如果z=1，则（100x 10y 1）（100x 10y）=1000a，
整理，得：(100x 10y)2 (100x 10y)=1000a，
即100(10x y)2 10(10x y)=1000a，
两边除以10，得10(10x y)2 (10x y)=100a，
整理，得（10x y）[10(10x y) 1]=100a，
因为右边100a的末两位数为0，而10(10x y) 1的个位数是1，
所以10x y的个位数为0，
所以y=0，所以10x-(100x 1)=100a，
所以x(100x 1)=10a，
因为右边10a的末位数为0，而100x 1的末位数是1，
所以x=10，与x<10矛盾；
如果z=5，则(100x 10y 4)(100x 10y 5)=1000a，
整理，得：(100x 10y)2 9(100x 10y)=1000a-20，
再整理，得：100(10x y)2 90(10x y)=1000a-20，
所以10(10x y)2 9(10x y)=100a-2
因式分解，得：(10x y)[10(10x y) 9]=100a-2，
因为[10(10x y) 9]的个位数为9，100a-2的个位数为8，
所以(10x y)的个位数只能是2，所以y=2，
所以(10x 2)(100x 29)=100a-2，
整理，得1000x2 490x=100a-60，即100x2 49x=10a-6，
所以x(100x 49)=10a-6，
因为(100x 49)的个位数是9，10a-6的个位数是4，所以x只能是6，
故所求的三位数是625；
如果z=6，则(100x 10y 5)(100x 10y 6)=1000a，
整理，得(100x y)2 11(100x 10y)=1000a-30，
再整理，得10(10x y)2 11(10x y)=100a-3，
即(10x y)[10(10x y 1) 1]=100a-3，
因为[10(10x y 1) 1]的个位数为1，100a-3的个位数为7，
所以(10x y)的个位数只能是7，所以y=7，
所以(10x 7)(100x 81)=100a-3，
整理，得1000x2 1510x=100a-570，
即100x2 151x=10a-57=10(a-5)-7，
所以x(100x 151)=10(a-5)-7，
因为(100x 151)的个位数是1，10(a-5)-7的个位数是3，所以x只能是3，
故所求的三位数是376．
综上，所有满足条件的三位数只有625和376两个．"
师徒四人终于获得通往天界的密码，打开了上天的大门，从此消失在浩瀚的宇宙之中。
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