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学过数学的人都知道，无穷大数字我们一般用符号∞表示。
对于无穷大数字，除了“无穷大”之外，我们还能如何表述呢？是否有可能比较一下两个不同的无穷大的数，看看哪一个“更大”呢？
而如果我们要比较无穷大数字的大小，就会面临一个问题：这些数字既没法读出来也没法写出来，怎么比较呢？
21读书
来源丨本文内容节选自《从一到无穷大》
编辑丨陈思；实习生 思纯
图片来源丨《从一到无穷大》
“所有数字的和”与“一条线上所有点的个数”哪个数字更大，有意义吗？
题记
01
在讲“无穷大”之前，先讲一个大家耳熟能详的故事。
据传说，印度舍罕王打算奖赏他的宰相、象棋的发明者西萨·班·达依尔。
这位大臣似乎并不贪心，他跪在国王面前说：
“陛下！请在棋盘的第一个格子里放一粒麦子，第二个格子里放两粒，第三个格子里放四粒，第四个格子里放八粒，以此类推，每个格子都放前面格子的两倍，直到把 64 个格子装满就行了。”
“你竟然只要这点奖赏。”
国王一边说，心里一边窃喜，毕竟对这样一件神奇发明的赏赐竟然不需要太破费，“我会按你的要求给你赏赐的。”说完，他命令一个仆人带了一袋麦子到王座前。
图 1. 西萨·班·达依尔——能力精湛的数学家——正向国王要他的赏赐
放麦粒的计数工作开始了，按照宰相的要求，第一格放一粒，第二格放两粒，第三格放四粒......
国王吃惊地发现，还没放到二十格，一麻袋麦子竟然已经空了。
于是一袋袋麦子搬到国王面前，但是随着格数的增长，所需的麦子增加得实在是太快了，很快国王就发现，即便把整个印度的麦子都拿过来，也满足不了达依尔的要求，因为计算一下我们就知道，这需要 18 446 744 073 709 551 615 颗麦粒！
这个数字虽然不像宇宙中原子总数那么大，但也足够可观了。
假设一蒲式耳 1 小麦有 5 000 000 粒，我们需要 4 万亿蒲式耳才够！全世界平均每年产出小麦总量约为 2 000 000 000 蒲式耳，所以宰相所求的赏赐，竟然是全球两千年所产的小麦总和！
国王终于意识到他欠了宰相多么大的一笔债，要么他得忍受着达依尔没完没了的讨债，要么他干脆砍了达依尔的脑袋。
我猜国王估计会选后者。
但是宰相请求赏赐的小麦数量，虽然大到难以置信，但毕竟还是有限的。
“有限”的意思就是，只要有足够长的时间，我们总能把它们从头到尾地写出来。
但是确实有些无穷大的数字，比我们能写出来的任何数字都大，例如“所有数字的和”或者“一条线上所有点的个数”等， 毫无疑问都是无穷大的。
那么对这些数字，除了“无穷大”之外，我们还能如何表述呢？是否有可能比较一下两个不同的无穷大的数，看看哪一个“更大”呢？
02
“所有数字的和”与“一条线上所有点的个数”哪个数字更大，有意义吗？
乍看起来这种问题似乎有些荒诞，但这是著名数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）曾经思考过的问题，因此他也是“无穷大数算术”的奠基人。
如果我们要比较无穷大数字的大小，就会面临一个问题：
这些数字既没法读出来也没法写出来，怎么比较呢？
康托尔提出的比较无穷大数的方法与此类似：
通过把两组无穷数列中的数字一一配对，来对两个无穷大数进行比较。
如果两组数恰好一一对应，那么这两个无穷大数就是相等的；
如果有一个数列中还有数剩下，那这一组就更大一些，或者表述为“更强”。
很显然，这种比较无穷大数的方式很合理，而且实际上这也是唯一可行的方法。
但真的用这种方法来进行比较时，我们还是会大吃一惊。
举例来说，若是要比较所有偶数和所有奇数这两个无穷大数列的数字个数，直觉上你肯定会认为这两个数目相等，毕竟应用上述方法，这个结论也完全说得通，因为奇数偶数之间可以建立如下的一一对应关系：
图 2.
上面这个表中，每个偶数都与一个奇数相对应，因此偶数和奇数的个数应该一样多。看看，是不是很简单？
且慢，且慢。
得出结论之前，先思考一个问题：
是包含所有奇数和偶数在内的整数个数多，还是偶数个数多？
你肯定会说，当然是所有整数的个数更多，毕竟整数除了包含所有的偶数，还要加上所有的奇数。但其实这只是你的印象罢了，为了得到准确的结论，我们必须利用上述规则来对这两个无穷大数进行比较。
如果实际比较一次，你就会惊讶地发现，你的印象并不正确。
下面就是所有整数和所有偶数的对应表：
图 3.
按照无穷大数的比较规则，我们必须承认，所有整数的数目和偶数的数目一样大。
听起来这个结论有些荒谬，因为偶数只是整数的一部分而已。
不过我们毕竟是在和无穷大数打交道，就得做好遭遇奇异性质的准备。
实际上，在无穷大的世界里，部分可能等于整体！德国著名的数学家希尔伯特（David Hilbert）曾经讲述过一则故事，能够很好地说明这个观点。
这个故事据说来自他的关于无穷大数的一次演讲，用来阐述无穷大的奇异性质：
假如有这样一个旅店，其中的房间数是有限的，全部都被住满了。
一位新的旅客抵达了旅店，店主只好说：
“不好意思，我们客满了。”
现在我们再假设有另一家旅店，其中的房间数是无穷的，所有的房间也全部住满了。
这时有一位新的旅客到达旅店，要订个房间。
“没问题！”店主会说。那么店主会如何做呢？只见他把 N1 号房间的旅客移到 N2 房间，把 N2 号房间的旅客移到 N3 房间，把 N3 号房间的旅客移到 N4 房间，以此类推。于是，N1 号房间就被空了出来，新的客人住了进去。
进一步，我们再假设存在另一家有无穷多房间的旅店，同样也住满了。突然，来了无穷多位新的要求订房间的旅客。
“好的，先生们，请稍等。”店主回答道。
只见店主将 N1 号房间的旅客移到 N2 房间，将 N2 房间的旅客移动到 N4 房间，将 N3 号房间的旅客移到 N6 房间，以此类推。
于是，所有奇数号房间都被空了出来，新来的无穷多位客人顺利入住了。
这些概念理解起来有些困难，更何况希尔伯特进行这段演讲时，正值世界大战期间，即便在华盛顿，这个故事也没有多少人理解，不过这个例子一针见血地点出了无穷大数运算与有限数的区别。
按照用于比较两个无穷大数的康托尔法则，我们还能证明普通分数 2（如 3/7，375/8 等）的数目和所有整数相等。
事实上，我们可以把所有的简单分数按照以下方式排列起来：
首先写下分子分母加起来等于 2 的分数，很明显这样的分数只有一个，那就是 1/1；
然后写下分子分母之和等于 3 的那些分数，分别是 2/1 和 1/2；
接下来是等于 4 的，有 2/2、3/1、1/3；以此类推。
这样我们就得到了一个无穷大的分数数列，其中包含了所有的分数（图 5）。
现在将这个数列上面一一对应写上整数数列，可见它们的数目是相等的！
图 4.
非洲原始人和康托尔教授都在比较无法数出的数目的大小
“很好，很好。”你可能会说，“这是不是意味着，所有的无穷大数其实都是相等的？如果这样的话，那比较还有什么意义？”
当然不是，我们可以很轻易找到比整数或分数个数更大的无穷大数。
实际上，如果我们研究一下曾经探讨过的那个关于线段上点的个数和整数个数的问题，就会发现这两个数字是不一样大的。
线段上点的个数比整数的个数要多得多。为了证明这一点，我们将一段线段（例如 1 英寸长）中的点和整数一一对应起来。
线段上的每个点都可以用该点到线段端点的距离来表示，这个距离可以写为一个无穷小数，例如 0.735 062 478 005 6...或 0.382 503 756 32...等。
因此我们可以通过这种方式比较无穷小数和所有整数的个数。那么，这些无穷小数与之前讨论过的那些形如 37、8277 的普通分数有什么区别呢？
你一定还记得一条算术规则：所有的简单分数都能够转化为无限循环小数 1。
因此 23=0.6666...=0.6，
37=0.428571...428571...4......=0.2857。
我们已经证明，所有普通分数与所有整数的个数相等，因此所有循环小数的个数与所有整数的个数相等。
但是线段上的点不可能全部由循环小数表示，绝大多数的点都是由无限不循环小数表示的。所以很容易得出结论，一一对应的关系无法建立。
假如有人宣布，他建立了这种一一对应的关系，比如下面这种形式：
图 5.
当然了，不可能真的把无穷多个数字写出来，因此这个人只是用上面这张表宣称，他发现了一种普遍规律（诸如我们用来排列分数的规律），按照这种规律，任意一个小数迟早都会出现在这张表上。
但我们不难证明，这类规律都是站不住脚的，因为无论他声称的规律是什么，我们总能找出这张包含无穷多数的表格之外的无穷小数。
怎么做呢？其实很简单。只要写一个小数，让这个小数第一小数位不同于表中第一个小数的第一小数位，第二小数位不同于表中第二个小数的第二小数位，以此类推。下面是一个例子：
图 6.
这个数绝对在列表中找不到。
比如这个表的作者对你说，这个数字是我列表中的第 137 号（或者其他任意序号）数字，你可以立即回答他说，
“不，我写的这个数字和你列表中的数字不相等，因为我这个数字的第 137 小数位的数字与你列表中那个数字的第 137 小数位不相等。”
图 7.
因此，线上的点和整数之间没法建立一一对应的关系。换句话说，线段上点的个数这个无穷大数大于（或强于）整数个数这个无穷大数。
我们刚才讨论的线一英寸长，但实际上按照无穷大数的计算规则很容易证明，无论线段多长,结果都一样。
实际上，一英寸、一英尺或是一英里长的线段上的点数都相等。
为了证明这一点，可以看看插图 6，图中比较了两条不同长度的线段 AB 和 AC 上点的个数。
为了建立一一对应的关系，过线段 AB 上的每一点作一条 BC 的平行线，每条平行线都与 AC 有一个交点，这样就形成了一组一一对应的点，例如 D 和 D'，E 和 E'，F 和 F'，等等。
线段 AB 上任何一点都能在线段 AC 上找到一个对应点，反过来也是一样。因此按照我们的规则，这两个无穷大数是相等的。
通过这种分析，我们还能得到一个更令人震惊的结论：
平面上所有点的个数与线段上所有点的个数相等。
为了证明这个结论，我们分析一条长为一英寸的线段 AB 和一个边长为 1 英寸的正方形 CDEF，如图 7 所示。
假设将线段上某点用数字表示，例如 0.751 203 86...。
将这个小数按奇数小数位和偶数小数位分开，可以得到两个新的小数，
一个是：0.710 8...
以及另外一个：0.523 6...
将这两个小数分别作为正方形中水平方向和垂直方向的距离，可以得到一个点，这个正方形上的点称作线段上原来那个点的“对偶点”。
反过来，对于正方形内任何一个点，也可以用同样的方式在线段中找到一个对应的点，比如对于正方形中的某个点，水平和垂直方向坐标分别为：
0.483 5...
以及
0.990 7...
把这两个数字合到一起，就得到了线段上的一个“对偶点”：
0.498 930 57...
很显然，通过这种方式，可以将两组点建立起一一对应的关系。
线段上的每个点都能够在正方形中找到一个对应的点，同样，正方形中每个点也都能够在线段上找到一个对应的点，没有点剩下来。
因此，按照康托尔法则，正方形点数这个无穷大数与线段点数这个无穷大数是相等的。
类似地，只要把一个小数分成三份，并用这三个小数在立方体内得到一个“对偶点”，我们也很容易证明，立方体内点的数目和正方形中点的数目或线段上点的数目相等。
与之前讨论过的两条不同长度线段的情况类似，正方形和立方体中点的个数与他们的大小无关。
虽然几何点数比整数和分数的个数都要大，但并不是数学家们已知的最大的数。
实际上，包括一些不寻常样式在内的各种曲线，样式的数量比所有几何点的数量更大，因此被视为第三级无穷数列。
按照“无穷大数算术”奠基人康托尔的意见，我们用希伯来字母 ℵ（读作“阿列夫”）表示无穷大数，右下角的数字用来表示无穷大数的级数。
因此包括无穷大数在内的数字数列可以表示为：
这样一来，我们说“线段上有 个点”或者“曲线的样式有 种”，就像我们平时说“世界上有七大洲”或“扑克牌有 52 张”一样方便了。
我们已经知道，ℵ_{0}表示所有整数的数目，ℵ_{1}表示所有几何点的数目，ℵ_{2}代表所有曲线样式的数目。
但直到现在，还没人能够找出一种需要用 ℵ_{3}表示的无穷大数。
这么一来，前三级无穷大数已经足够来描述目前我们遇到的所有无穷大数了。
我们拥有了描述无穷大数的方法，却没那么多东西可数了！
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《从一到无穷大》
作者：【美】 乔治·伽莫夫
译者：高辉
出版社：江苏凤凰科学技术出版社
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