在极限这一章中,我们会遇到类似这样的问题:给出一个递推数列,然后让我们证明该数列收敛。那么我们该怎么做呢,答案就在这一节的标题中——单调,有界。


(8)数列的单调有界准则

高等数学第3版上册数列的极限(高等数学8)(1)

若数列单调递增,且有上界(或单调递减,且有下界),那么数列极限必存在。

一般我们证明递推数列的单调性或有界会用到数学归纳法:

即 先验算n=1时成立,假设n=k成立,最后证明n=k 1成立

下面我们来看一道例题体会一下:

高等数学第3版上册数列的极限(高等数学8)(2)

有时候除了证明一个递推数列的极限存在外,题目还会要求我们求出极限,我们只需要设极限为A,再对等式两段数列取极限,解出A即可,具体操作如下面的例题:

高等数学第3版上册数列的极限(高等数学8)(3)


高等数学第3版上册数列的极限(高等数学8)(4)


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限于作者水平,若有不妥之处,望广大读者指正,共同进步。

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