写一篇逻辑严密的文章，涉及到的东西太多，实在很困难，所以某些方面就不深究下去，仅做一个知识点的粗浅归纳。
关于浮点数
IEEE754标准规定：
浮点数的构成：1位符号位 N位阶码 M位尾数（原码表示）
单精度浮点数：1位符号位，8位阶码，23位尾数，共32位，占4个字节
双精度浮点数：1位符号位，11位阶码，52位尾数，共64位，占8个字节
长双精度浮点数：1位符号位，15位阶码，64位尾数，共80位，占10个字节
其中，阶码是由原码加上移码构成，所谓移码（exponential bias），值为2^(N-1)-1，如单精度时，移码为2^7-1=128
NaN表示not a number : 当阶码全为1，尾数不全为0，此时为NaN；这里又涉及到 quiet NaN和signaling NaN；如果尾数的首位是1，那么就是quiet NaN；如果尾数的首位是0，其余尾数有不为0，那么就是signaling NaN。这是 大多数处理器，包括Intel与AMD的x86系列、Motorola68000系列、AIMPowerPC系列、ARM系列、SunSPARC系列，采取的标准。这个标准被IEEE754采纳。
而 PA-RISC与MIPS处理器，采取了首位为'is_signaling'标记位，恰与上述标准相反。
那么，什么是quiet NaN和signaling NaN？
意思是：
当一个操作导致一个安静的NaN，没有指示任何异常，直到程序检查结果并看到一个NaN。也就是说，如果在软件中实现浮点，计算将继续进行，而没有来自浮点单元（FPU）或库的任何信号。信号NaN将产生一个信号，通常以FPU的例外形式。是否抛出异常取决于FPU的状态。
以上介绍了浮点数的NaN的定义，下面介绍 Inf和-Inf的定义。
Inf，即正无穷大：当符号位是0，阶码全为1，尾数全是0，此时为正无穷大；
-Inf，即负无穷大：当符号位是1，阶码全为1，尾数全是0，此时为负无穷大；
所以对于64位的双精度浮点数：
NaN 为：0xFFF8000000000000ULL
Inf为：0x7FF0000000000000ULL
-Inf为：0xFFF0000000000000ULL
下面继续问：
单精度，双精度，能表示的最小的小数是多少？我如果知道了每种精度能表示的最小的小数，那么就会很清楚的去选择正确的精度类型。
已知：float，单精度浮点数，1位符号位，8位阶码，23位尾数。
既然尾数有23位，那么能表示的最小的小数对应着23位尾数中，只有最后一位是1，其余全是0
即0.0000,0000,0000,0000,0000,001B ，这个二进制对应的小数是2^(-23)，即0.000000119D
那么0.00000012D对应的二进制是多少呢？因为0.000000119D对应的二进制是0.0000,0000,0000,0000,0000,001B，这已经是最小的二进制数，当二进制增加1时，即
0.0000,0000,0000,0000,0000,010B，对应的小数已经是0.000000228D
而，0.00000012D介于0.000000119D和0.000000228D之间，所以0.00000012D的二进制仍旧是0.0000,0000,0000,0000,0000,001B
意思就是：小数点后第8位并不是有效位；那么小数点后第7位呢？
0.0000,0000,0000,0000,0000,001对应的十进制是0.0000001，
0.0000,0000,0000,0000,0000,010对应的十进制是0.0000002，
所以，float的有效位就是小数点后7位。
以上是从二进制的形式来分析数的有效位；
下面如果面对的是十进制数
比如：0.100000111D，与0.100000112D，这两个数，如果声明类型为float，那么这两个数是不是相等的？
首先，要对十进制数进行归一化为1.xxxxx的形式；
如果遇到整数部分不是1的，那么就会浮动小数点，得到1.00000111和1.00000112
当然小数点浮动了，阶码也改变了。这样得到的两个小数，他们的小数部分就是7位有效位。
所以1.00000111就是1.0000011；而1.00000112也是1.0000011，所以说0.100000111，与0.100000112是相等的。
那么0.00000011122233f 和 0.00000011122234f这两个数是不是相等的？
从表面看，虽然他们已经在小数点后14位才不一样，似乎他们应该是相等的。但其实，他们并不相等。因为虽然前面有那么多的0，但是这是浮点数，它会移动小数点，以达到最精简的表达这个数，归一化后为1.1122233f和1.1122234f，此时他们的小数点后是7为数字，不同的位置在第7位，所以计算机可以区分出这两个数是不同的，所以0.00000011122233f 和 0.00000011122234f这两个数是不相等的。
float x11=3.00000012f 和 float x22=3.00000010f这两个数是否相等？
答案是：
不相等。
虽然表明上看，这两个数的小数部分的前7位都是一样的，整数部分也一样，似乎应该是相等的。
x11=3.00000012f的小数部分明显大于2^(-23)，也就是说尾数的第23位是1；x22=3.00000010f的小数部分明显小于2^(-23)，也就是说尾数的第23位是0；
但是，他们的整数部分是3，即二进制11，归一化后的尾数的第1位被3的二进制的第0位的1占据。
这样，x11的归一化之前的尾数的第23位就被划在了归一化后的尾数的范围之外。也就是说x11和x22在归一化后，他们的尾数都是一样的了。可是为什么结果还是不相等呢？
原因在于x11归一化后，虽然尾数的第23位是0了，但是它的第24位是1，这个1等于了float的
机器ε（machine epsilon）的一半，所以不能舍去，于是向尾数的第23位进1，于是尾数的第23位并不是0，而是1。
至于什么是 机器ε， 机器ε是指最小的尾数，即尾数的第23位是1时的值。
如果上面的理解是正确的，那么如果我将x22的值，归一化之前的小数部分的尾数的第22位设置为1，这样当将整数部分的3归一化后，22位上的1变成了23位上的1，这样x22就与x11一样了。下面验证一下，是不是一样。
当22位上是1时，那么值就是2^（-22），即0.000000238，于是我程序比较
float x11=3.00000012f 和 float x22=3.00000024f; 这两个数是不是相等。如果相等，证明我的理解是正确的。
说明我的猜测是正确的。
几个例子
float x11=3.00000011f 和 float x22=3.00000012f是不相等的；
float x11=3.00000011f 和 float x22=3.00000010f是相等的；
请问，float x11=100.00000022f和float x22=100.00000011f是否相等。
100，划分为二进制是1100100，归一化后，它的100100归入了尾数中，导致归一化之前的尾数中的第22,23位都被分离了出去，原来的位17变成了现在的位23，并且原来的位18也是0，即现在的位24是0，所以24位及其后面的都被舍去。即x11和x22是相同的。
也就是说：当一个浮点数，整数部分的值很大时，这会占据小数部分的有效位。
另外，也可以这样理解：
x11=100.00000022f，归一化就是1.00 00000022f ;
x22=100.00000011f，归一化就是1.00 00000011f；
从小数部分数7位，发现以上都是一样的，所以x11和x22是相等的；
这就是规律。
即：先把数归一化，得到首尾是1的数，再判断它的小数部分，7位有效位，同时判断第8位的值是否超过机器ε的一半。若有，则有进位。否则，舍去。
对于double，双精度浮点数：
1位符号位，11位阶码，52位尾数，共64位。
那么它的机器ε就是：2^(-52)，即0.000000000000000222
即双精度浮点数的有效位是小数点后16位。
下面，实际的计算一下，3.1415这个浮点数当类型是双精度时，在内存中的表示。
3换算为二进制就是11
0.1415换算为二进制就是0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,1101{0...}
所以3.1415的二进制表示就是：
11. 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,1101{0...}
归一化为：
1.1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,1101{0...}
因为归一化了，将整数部分的1划入了尾数，所以此时尾数是：
1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,110{10...}
第53位是1，进1，得到：
1.1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,111
尾数换算为16进制就是：921CAC083126F
阶码的原码是1，即2^1，因为这个是双精度浮点数，可知它的移码是2^(11-1)-1，即：
十进制数1023，换算为16进制数是3FF，加上阶1，得到400
所以3.1415，用双精度表示就是：
0 {11-1111-1111} {1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,111}
从后往前，4bit一组，构成16进制，表示为：
0x400921CAC083126F
下面，用软件来验证3.1415的双精度浮点数，在内存中的值是不是 0x400921CAC083126F
unsigned long long a=0x0;
double b=3.1415;
a=*((unsigned long long *)(&b));
意思是：取得变量b的地址，将这个地址的类型转换为unsigned long long *，然后取得这个地址的内容，送给a
debug中断，查看&b的值是0x0012FEA8, 从这个地址开始的8个字节的内存值是：
我的电脑是Intel处理器，数据在内存中是以小尾形式保存的，即数据的高字节保存在内存的高地址处；数据的低字节保存在内存的低地址处。
因此，从地址0x0012FEA8开始的8个字节，组成的数据是0x400921CAC083126F
,
