这道中考数学压轴题，涉及到抛物线的平移，三角形的最大面积，以及抛物线上的平行四边形的存在性问题。每一个问题，老黄都要用最简便的方法，给大家演示一下解法。
将抛物线y=ax^2(a≠0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H:y=a(x-h)^2 k.抛物线H与x轴交于点A，B, 与y轴交于点C. 已知A(-3,0),点P是抛物线H上的一个动点.
(1)求抛物线H的表达式；
(2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E. 作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
(3)如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.
分析：(1)直接求H的解析式，不如把A点平移回去，代入原抛物线解析式，求a值那么简便。
(2)主要利用三角形PEF和三角形ACO相似，三角形ACO的面积一定，所以PE越大，相似比越大，三角形PEF的面积就越大。PE最大时，三角形PEF的面积就最大。这样解会简便得多。
(3)分成两种情况，三种情形。一种情况是PQ为对角线时，利用PQ的中点就是AC的中点求P点的坐标，非常简捷。一种情况是PQ为边时，又分成P点在对称轴两侧两种情形。利用平行四边形对边两个端点的横坐标差相等来求，也特别简捷。本来对边两个端点的纵坐标差也必须是相等的，但Q点的纵坐标可取任意值，所以纵坐标方面是一定能满足的，并不需要特别申明。
下面组织解题过程：
解：(1)平移前A点的位置为(-2,-4),
-4=4a, a=-1,
抛物线H的表达式为：y=-(x 1)^2 4.
(2)C(0,3), 直线AC的解析式为：y=x 3,
AC=根号(OA^2 OC^2)=3根号2.
设P(p,-(p 1)^2 4), 则E(p,p 3),
PE=-(p 1)^2 4-(p 3)=-(p 3/2)^2 9/4.
当p=-3/2时, PE=9/4最大.
又△PEF∽△ACO, 且PE/AC=3根号2/8.
∴S△PEF=9S△ACO /32=9OA·OC/64=81/64最大.
(3)可设Q(-1,q), 当PQ是平行四边形APCQ的对角线时, PQ的中点坐标为(-1.5,1.5),
p-1=-3，解得p=-2，-(p 1)^2 4=3，
当PQ是平行四边形ACPQ的边时，p=-1-(-3)=2，-(p 1)^2 4=-5，
当PQ是平行四边形ACQP的边时，-3-p=-(-1)，解得p=-4, -(p 1)^2 4=-5，
∴P(-2,3)或(2,-5)或(-4,-5).
这类压轴题型在中考数学中出现的概率是很高的。掌握了这些简便的解决方法，对中考数学是非常有帮助的。
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