小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数
2018年8月15日星期三
这些所谓“不会教”的内容，应当属于小学数学的课外拓展知识，学有余力的五、六年级小朋友完全可以看一看。不过，从各取所需的角度，受众范围也可以大一些，因为，除了“卖弄”一些“超纲”的内容，大抵也是要复习已学知识的。没有任何一片新知的“嫩芽”不是生长在旧知茁壮的“枝杆”上的。
谈及分数和小数，不得不简要地提一下“数的发展”（详见前文《写给小学生的：漫谈数的发展》）。数系目前共经历了4次扩张。第一次扩张诞生了负数，使得自然数扩张为整数。第二次扩张增加了“整数之比”，使得整数扩张为分数。第三次扩张是由于发现了永远不能表达成“整数之比”的无理数，使得数系扩张为小数。至此，“一维数”达到了完备，它的几何模型是“数轴”，小数与数轴完全匹配、一一对应，小数亦称实数，与之匹配的数轴亦称实数轴。第四次扩张则是由于虚数到了不得不面对的境地，数学家们勇往直上，强制规定－1的平方根为i，因而诞生了“复数”。为了更好地理解复数，人们用“二维”复平面作为复数的几何模型。至此，可以说数由“一维”迈向了高维——二维。或许，今后还有新的数系的扩张，更高维度的，您可以作畅想。但此处，我们仅为更好地理解分数与小数。
关于其中的几个基本概念，见下面几页教材，不再赘述。
人教版五数上册33、34页
所谓“纯循环小数”，指循环部分从十分位开始的循环小数，也即小数部分“完全循环”的无限小数，如：5.333……。“混循环小数” 指循环部分从十分位以后开始的循环小数，也即小数部分“部分循环”的无限小数，如：7.14545……、6.93585858……。
除了这些基本的概念之外，我们重点关注两点：
（1）小数包含分数。这是对所以要进行“分数与小数的互化”的最天然、最合理的解释，因为，在此范围内的同一个数，既可以拥有分数的表达形式，也可以拥有小数的表达形式。就像一个小朋友，在家可以穿各款心爱的衣服，在校可以穿划一的校服，可以顺利切换。服装虽然变了，但人依然是那位“可爱”的小朋友。分数与小数在不改变自身大小的情况下，也是可以自由切换的。但是，我们的小学数学并没有对此做出完整的学习，我们所做的事实上仅仅是 “分数化小数”和“整数、有限小数化分数”，对于“无限循环小数化分数”，则是没有学习的。本文正是针对这一空白展开拓展，拟分两篇，分别就“纯循环小数化分数”、“混循环小数化分数”展开介绍。
（2）小数的范围大于分数。不是所有的小数都能化成分数，或者说，不是所有的小数都具有分数形式。小数中有一类特别“不讲道理”的数——无限不循环小数，也即无理数，是永远不能化成分数的。因此，所谓“分数与小数的互化”，是在“有理数”范围内的，也就是分数范围内的，而不是小数范围内的。所有的分数都能化成小数，是正确的；所有的小数都能化成分数，则是错误的。无理数，首先是无限小数。何谓“无限”？即穷尽所有的时间、空间，亦不能将其写完。然后是“不循环”，这是极让人抓狂的地方，在无穷无尽的小数部分中，居然连一丝“规律性”都没有，这使得无理数的小数部分充满了“谜一般”的效果，它变化无常，自然不可能静态化为一个安稳的、本分的分数形式。您必须对此有所认识，不要花费不必要的工夫在“寻找任何化无理数为分数的可能上”。数学家们已经利用“反证法”证明，将无理数写成分数形式是一件不可能的事情。
在给出“纯循环小数化分数”的具体方法之前，我们先来观察一组“分数化小数”的趣题。分数化小数的实质是除法运算，即：分子÷分母。既然是除法，则其结果“商”除了是整数、有限小数之外，就是无限循环小数。这也恰好说明：只有这三类数才有可能“还原”成分数形式。至于什么情况下分子除以分母的商是有限的，什么情况下是无限循环的，我们的课本提供了简洁的判断方法，复习如下：
人教版五数下册79页
下面的“趣题”运用的就是“分子÷分母”的方法。如果将其中的最简分数如：1/9、2/9……的分母9进行“质因数分解”，则有：9＝3×3。可见，其质因数全是2和5以外的，因此根据上面的判别方法可知，这些分数只能化成无限小数，好在其小数部分是“循环”的，有迹可循！其他不是最简分数的，比如：3/9、6/9……可以先化简，再应用上述判断方法。当然，终极方法是：将分子除以分母一条道除到“黑”，至少除到可以发现循环为止。
这组算式可以揭示分数的“形式之美”，它使没完没了的循环小数拥有了简洁、静态的分数形式，使其可以完整、准确地参与运算，而不再只是“截取”一部分，做近似计算。小数大抵在这方面很无能，只能采用“近似”的办法。“简洁的形式”、“准确、完整的结果”，是分数存在的重要价值，这是小数所不能取代分数的根本原因！当我们依次推导得出：0.999999……＝1时，就会不禁地感叹这种简洁的“形式之美”！
接下来我们转换观察的角度，反向思考如何将“循环小数化成分数”，则会发现上面算式的共通之处：一位循环节÷一个9。
进一步拓展有：
几位循环节÷几个9
（重要程度★★★★★）
这就是“纯循环小数化分数”的方法，得来全不费工夫，我们只是在“丰厚”的旧知的基础上，略微前进了一小步。就让我们在“呯……呯……”地激动声中赶紧验证一下吧：
（其中：2_5/111表示2又111分之5，是带分数的横写形式）
怎么样？屡试不爽吧！
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