一些条件中含有(或可转化为)一元二次方程的题目,往往不是去解这个一元二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决.
类型1 把方程ax² bx c=0(a≠0)变形为ax² bx =-c或ax² c=-bx,代换后使之转化关系或整体的消去
1. 已知α是方程x² x-1=0的根,则3x² 3x-1的值为__________.
解:由题设知x² x=1,原式=3(x² 1)-1=3-1=2.
2.阅读下列例题的解题过程,给出问题的解答.
例题:已知x²﹣3x 1=0,求x3﹣2x²﹣2x 50的值.
解:∵x²﹣3x 1=0,∴x²=3x﹣1 , x3=3 x²﹣x。
∴x3﹣2x²﹣2 x 50=(3x²﹣x)﹣2x²﹣2 x 50=x²﹣3x 50=(3x﹣1)﹣3x 50=49
请参照例题的解题方法,解决以下问题:已知a²﹣4a﹣2=0,求a3﹣3a²﹣6a 30的值.
【解答】∵a²﹣4a﹣2=0,∴a²=4a 2,∴a3=4a² 2a,
∴a3﹣3a²﹣6a 30=(4a² 2a)﹣3a²﹣6a 30=a²﹣4a 30=4a 2﹣4a 30=32.
【方法点拨】此题考查了一元二次方程的解,代数式求值,参照所提供例题的解题方法,将所求式子进行适当的变形是解本题的关键.
类型2. 把方程ax² bx c=0(a≠0)变形为ax²=-bx-c,代换后使降幂或升幂.
类型3. 把方程ax² bx c=0(a≠0)直接作零值代换,使问题化繁为简.
4. 若m、n是方程x² 2006x 7=0的两个根,那么(m² 2005m 6)( n² 2007n 8)的值等于____________.
解:由题设知m² 2006m 7=0,n² 2006n 7=0及m n=-2006,mn=7,
所以,原式=( m² 2006m 7-m-1)( n² 2006n 7 n 1)
=(-m-1)(n 1)
= -(mn n 1)=-(7-2006 1)=1998.
类型4. 把方程ax² bx c=0(a≠0)方程两边同时乘以1/x得变形为ax b/x=-c/x²,平方后整体代入。
【方法点拨】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式,解决问题的关键是灵活应用完全平方公式,记住两边平方不能漏项(利用完全平方公式整体平方),属于中考常考题型.
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