:如图,点A是双曲线y=-√2/x上一个动点,点A关于原点的对称点为B,△ABC为等腰直角三角形,∠C=90°,AC交x轴于点D,如果BD恰好平分∠ABC,则点C的坐标是

双曲线基本图像(双曲线与图形坐标)(1)

分析与解:在没有确定用什么方法求点C坐标时,首先注意到根据已知条件,点A在双曲线上,点B关于原点对称点是B,而双曲线是中心对称图形,所以点B也在双曲线上。其次,注意△ABC为等腰直角三角形,BD平分∠ABC,想到角平分线上的点到角两边距离相等,过点D作DE⊥AB于E,则DC=DE,△ADE是等腰直角三角形,

所以CD/AD=DE/AD=1/√2。

设点C的坐标为(x,y),点A的坐标为(a,-√2/a),

则点B的坐标为(-a,√2/a),

注意到△ABC三个顶点A、B、C坐标的关联性,分别过A、B、C作坐标轴的平行线,围成一个矩形BGFH,则点G、F的坐标分别是:

G(x,√2/a),F(x,-√2/a),

所以CF=-√2/a-y,BG=-a-x,AF=a-x,CG=y-√2/a,

由∠C=90°,AC=BC易知:△ACF≌△CBG,

所以CF=BG,AF=CG。

所以-√2/a-y=-a-x,x-y=-a √2/a……(1)

a-x=y-√2/a,x y=a √2/a……………(2)

(1) (2),得2x=2√2/a,x=√2/a;

(2)-(1),得2y=2a,y=a。

设FG交x轴于M,则CM=-y=-a,MF=-√2/a,

因为DM∥AF,所以CM/MF=CD/AD,

所以-a/(-√2/a)=1/√2,整理,得a^2=1,

因为a<0,所以a=-1。

所以x=-√2,y=-1,

所以点C的坐标为(-√2,-1).

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