你对正整数有感觉吗？你喜欢哪个（些）正整数？你知道数论吗？正整数优美吗？
A. 完美数
无论是物质世界，还是精神世界，都离不开数学。最早悟出万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在公元前6世纪的古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯；而他及其学派无论在代数上还是几何上都有很多贡献。其中举世闻名的"完美数"(perfect number，又称"完全数"和"完满数") 就是他们首先发现的。
法国数学家和哲学家笛卡尔曾公开预言："能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。"可见这种数既优美又稀少。
所谓完美数，就是"除其本身以外全部因数之和等于本身"的数。研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6，他十分感兴趣地说："6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。"
当除数可以整除被除数(意即被除数=除数*商)，则除数叫做被除数的因数。
素数就是质数。它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。如6的所有真约数是1、2、3，而且6=1＋2＋3。像这样，一个数所有真约数的和正好等于这个数，通常把这个数叫做完美数。任何一个自然数的约数中都有1和它本身,我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真约数。
完美数有多少? 只发现20多个。例如6的因数位1,2,3，而6=1 2 3；28的因数为1,2,4,7,14，而 1 2 4 7 14；496的因数为1,2,4,8,18,31,62,124,248，而496=1 2 4 8 18 31 62 124 248。第四个完美数是8128（1000多年前）；具体探源如下：
古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完美数的概念。不过，有人认为或许印度人和希伯来人早就知道完美数的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字；他们指出，创造世界花了6天，28天则是月亮绕地球一周的天数。这使得完美数充满了神秘的色彩，所以有些书籍称之为"上帝之数"。
约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完美数的方法，被誉为欧几里得定理："如果2n－1是一个素数，那么自然数2n-1一定是一个完美数。"并给出了证明。
公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完美数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完美数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完美数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。
1460年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完美数33550336。这比起第四个完美数8128大了4000多倍。跨度如此之大，在计算落后的古代可想发现者之艰辛了，但是，手稿里没有说明他用什么方法得到的，又没有公布自己的姓名，这更使人迷惑不解了。
17世纪"神数术"大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中，一口气列出了28个所谓"完美数"，他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程，后人发现其中有许多是错误的。
1603年，数学家克特迪历尽艰辛，终于证明了无名氏手稿中第五个完美数是正确的，同时他还正确地发现了第六个和第七个完美数216(217-1)和218(219-1)，但他又错误地认为222(223-1)、228（229-1）和236（237-1）也是完美数。这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了。
1644年，法国神甫兼大数学家梅森指出，庞格斯给出的28个"完美数"中，只有8个是正确的，即当n＝2，3，5，7，13，17， 19， 31时，2n-1(2n-1)是完美数，同时又增加了 n＝67，127和257。
在未证明的情况下他武断地说：当 n ≤ 257时，只有这 11个完美数。这就是著名的"梅森猜测"。完美数有许多有趣的性质：
1. 它们都能写成连续自然数之和：6=1 2 3, 28=1 2 3 4 5 6 7, 496=1 2 3 4 ...... 31, 8128=1 2 3 4 ...... 127
2.它们的尾数都是6或8。
3.它们的全部因数的倒数之和都是2。1/1 1/2 1/3 1/6=2 ； 1/1 1/2 1/4 1/7 1/(14) 1/(28)=2 ；/1 1/2 1/4 1/8 1/(16) 1/(31) 1/(62) 1/(124) 1/(248) 1/(496)=2 ；
物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别用途，但完美数的奇异和美丽吸引了许多人
B. Mersen数
当n=2,3,5,7,13,17时，Cn确实是前六个完美数。
1730年，被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉，时年23岁，正值风华茂盛。他出手不凡，给出了一个出色的定理："每一个偶完美数都是形如2n-1(2n-1)的自然数，其中n是素数，2n-1也是素数"，并给出了他一直没有发表的证明。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得与欧拉两个互逆定理，公式2n-1(2n-1)成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。
欧拉研究"梅森猜测"后指出："我冒险断言：每一个小于50的素数，甚至小于100的素数使2n-1(2n-1)是完美数的仅有n取2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我从一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性。"
1772年，欧拉因过度拼命研究双目已经失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说："我已经心算证明n＝31时，230(231-1)是第8个完美数。"同时，他发现他过去认为n=41和n＝47时是完美数是错误的。
形如2^p -1的正整数，其中p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数。p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数 。已发现的最大梅森素数是p＝24036583的情形，此时 Mp 是一个7235733位数。是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
为了激励人们寻找梅森素数，设在美国的电子新领域基金会(EFF)曾向全世界宣布了为通过一个名为"因特网梅森素数大搜索"(GIMPS)项目来寻找梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。当然，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于兴趣、荣誉感和探索精神。
美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯通过参加GIMPS项目，于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素数2^43112609-1；该数也是目前已知的最大素数。这个素数有12978189位；如果用普通字号(4号)将它连续打下来，其长度可超过50公里！人类也因此发现了迄今已知的最大偶完美数——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《时代》杂志评为"2008年度50项最佳发明"之一。前不久，他获得了EFF颁布的10万美元大奖。
梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。它是发现已知最大偶完美数的唯一途径；其探究推动了"数学皇后"——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、网格技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用；另外它还可用来测试计算机硬件运算是否正确。由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。
C. 回文素数
回文素数又称逆等素数，即把该数诸位逆序排列时与原数完全相等.1000以内的回文素数有16个：11，101，131，151，181，191，313，353，373，383，727，757，787，797，919，929。回文素数是否有无穷多是至今还未解决的问题.
回文诗：《晚秋即景》
烟霞映水碧迢迢，
暮色秋声一雁遥，
前芩落辉残照晚，
边城古树冷萧萧。
倒过来念为：
萧萧冷树古城边，
晚照残辉落芩前，
遥雁一声秋色暮，
迢迢碧水映霞烟。
芩（qín）
数学中的回文素数或回文质数：试着找一对吧,如：2位数的回文素数有4对：13—31；17—71；37—73；97—79;三位数的回文素数共13对；四位数的回文素数共102对；五位数共684对…………;有趣的是=3.1415926……;前两位数：31-13;前六位数：314159-951413;
D：其它有趣的现象：
自守数：所谓自守数就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。 例如：21×21=421 ;21×21×21=9261;325×325=105625;6×6×6×6=1296 ;末尾是25和76的数也是自守数，三位数以上也有。
自然数中的奇数和偶数:
对所有的自然数，下面的规律也成立并且十分有趣：
在自然数中还有一些数，看起来貌不惊人，但却十分特别，令人百思不得其解。6174就是其中之一。7641-1467=6174 ;有趣的是，不仅6174本身，就是任意一四位数字，只要4个数字不完全相同，用上述办法重复多次，最后终能得到6174这个数。例如1234这个数，我们用下列步聚运算：4321-1234=3087;8730-0378=8352;8532-2358=6174
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