题目如下,A为自然数倒数平方和。
那么A等于多少呢?这个问题从数学家提出到首次被计算出相隔近百年。文章数学公式很多,小编费了不少劲,尽量让高中生就可以看懂。希望大家分享收藏,认证阅读,肯定能体会数学的奥秘。可以让更多人爱上数学。
故事是这样的,在十八世纪初叶,求所自然数平方的倒数和是一个非常有名的难题,被称为“贝塞尔问题”(the Basel Problem),因为它难倒了大名鼎鼎的瑞士贝塞尔城的数学双雄——雅各布•伯努利(Jakob Bernoulli)和弟弟约翰•伯努利(Johann Bernoulli),他们兄弟俩堪称是当时欧洲大陆最富盛名的数学家,其赫赫威名在整个欧洲可以说无人不知,无人不晓。他求出很多以自然数相关的级数,而针对上面的求和,却致死无解。
在《无穷级数论稿》中他写道:
在当时,很多数学家投入研究计算这个无穷数列的工作之中,都没有结果,就连莱布尼茨和伯努力都曾经研究过,但是没有结果。
最先给出答案的是天才数学家欧拉,欧拉的天分很强,他的证明不是很严谨,但却给出了结果。
第一次见到这个等式,一定会惊讶得目瞪口呆吧,把所有自然数的平方的倒数全部加在一起,竟然正好等于圆周率平方的六分之一!太不可思议了!这简直不是数学而是魔术!
是的,这的确是一个十分神奇又优美得动人心魄的等式,任何一个凝视和思索它的人,都会深深地感到数的世界的神秘,一种深刻的和谐,一种天定的秩序,和超越凡俗、接近神祗的冷峻的美。
网上有很多方法来求,都用到了严谨的大学知识。
今天小编给出一个高中生也可以看懂的方法,重在培育探索思想。
假设一个方程,f(x)=0 的解 为 x=x1 和 x=x2;
那么
其中 a为待定系数。
比如
f(x)=0 的解为 x=0 , x =1 和 x =2
则可以改为乘积形式
细心的朋友应该发现了规律,其中2正好为f(x)的 x的系数。有人就是常数a肯定是f(x) 的x的系数,这个通过简单求导可证!
再仔细观察,
我们也可以发现,(很重要) f(x) 的
-
x 的系数为 2*1*1 = 2,
-
x^2的系数为 2*(-1/1) 2*(-1/2) = -3,
-
x^3的系数为 2*(-1/1)*(-1/2) = 1;
上述结论可以推广到无穷。
我们知道
的0点解,及sinπx=0 的解为 x=0,x=1,x=-1,x=2,x=-2,x=3,x=-3 .....
即:
那么如何计算系数a呢,通过观察我们可以知道 x 的系数为 a*1*1*1*1….. = a;
也就是a 为 sinπx 中 x的系数。
还可以发现 x^3 的系数(设其为c)为
通过上述分析,如果我们能求出 sinπx 的 x的一次方的系数 a,和 x^3 的系数c 即可。
我们要求
下面我们来求sinπx 的 x一次方的系数 a 和x二次方的系数 b.
令
令x=0;
sinπ*0 = R, 即 R=0;
两边求导
令x=0;
πcosπ*0 = a, 即 a=π;
继续求导可得
令x=0;
再继续求导可得
终于大功告成,我们求出
大家发现没,太神奇了,只要我们知道 sinπx 的x^2 的系数为多少,就可以了!
同样的道理,可以求出
读者们应该也看到了规律,自然数倒数的N次方和,与π的N次方相关,当N为偶数时候。
也许您会说,当N为 奇数时是不是也和π的N次方有关系,比如
很遗憾的告诉你,这个连欧拉没有能够求出,直到今天也没有人能求出来,这就是数学无比奇妙,神鬼莫测的地方!
法国数学家阿佩里(Roger Apéry )并没有求出B的精确值,只证明了它是无理数,就已经名扬天下了!
B从此就被称为阿佩里数! 求出它的具体指,可能需要未来更高级的数学来实现。
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