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NO. 129

n的最小值

八下数学三角形的最值问题(灵机一动第129期)(1)

已知1 2 3 … n的和的个位数字为3,十位数为0,百位数字不为0。求n的最小值。

问题分析解答

方法一:

依题意,设百位数字是一个大于0的整数a,有

1 2 3 … n=n(n 1)/2=100a 3

得,n(n 1)=200a 6,即相邻两个自然数的积的个位数为6;易知满足条件的n的个位数只能是2或7,可设n=10x 2或10x 7,有

(10x 2)(10x 3)=200a 6 …… ①

(10x 7)(10x 8)=200 6 …… ②

由①整理得:2x² x=4a

只有当x为偶数,且最小为4时满足题意,则有n=42,a=9。

由②整理得:2x² 3x 1=4a

只有当x为奇数,且最小为3时满足题意,则有n=37,a=7。

综合可知n的最小值为37。

方法二:与方法一类似,可得到n(n 1)=200a 6

两边乘以4得:4n(n 1)=800a 24

配方得:(2n 1)²=800a 25

这是一个末两位数为25的平方数,显然2n 1的个位数5,可设 2n 1=10x 5,于是 (10x 5)²=800a 25

整理得:8a=x(x 1)

可知x=7,a=7 最小,从而n的最小值为37。

其他解法可参考“题友解答精选”中题友的解答。

题友解答精选

◎题友 @大成至圣的解答:

根据题意要求可得n(n 1)应满足个位为6,十位为0,百位为除了0以外的偶数。进一步筛选n的个位只能是2或者7。当n个位为2时,假设n=10k 2,其中k为自然数,那么n(n 1)=50k(2k 1) 6,当k=4时满足条件,此时n=42;再来考虑n=10k 7的情况,n(n 1)=50(2k 1)(k 1) 6,当k=3满足条件,此时n=37。综上最小的n值为37。 ps:形如50x的十位为0,百位为除了0以外的偶数的数字要求x能被4整除且不能被20整除。

◎题友 @孤鸿的解答:

由题可得,此题是等差数列前n项和=(n*2 n)/2=Sn.则100<Sn<1000.得14<n<45.再者,要使Sn=?03.即(n*2 n)=?06.在所有数字中只有个位2和7的数字满足2×2 2=6、7×7 7=?6。所以满足的数字是17、22、27、32、37、42。n=17时,Sn=156,n=22时,Sn=253,.n=27时,Sn=378,.n=32时,Sn=543.,n=37时,Sn=703,.n=42时,Sn=903.所以n的最小值是37,最大值是42。

◎题友 @椒盐五花熊 的解答:

由于1 2=3,因此,只要找到最小的n使得3 4 ... n是100的倍数即可。这个和是(n 3)(n-2)/2,有意思的是,n 3和n-2正好相差5,这意味着只要其中一个是5的倍数,另一个一定也是5的倍数,直接满足了乘积是25的倍数,此时,只要它们的乘积同时还是8的倍数,就能满足条件了,由于这两个数必然一个是奇数,一个是偶数,因此,这个偶数必须是8的倍数,所以,这个偶数一定要是40的倍数,显然,0不满足白位数不是0的条件,大于0的最小的40的倍数,就是40本身,而最小的n,也就是40-3=37,经验算,1 2 ... 37=703,满足条件。

◎题友 @不机智 的解答:

前两位1 2=3,已经满足个位是3,十位是0,问题转化为从3开始最少加到几得到整百的数字,可见n的尾数不是7就是2,否则从3开始加无法得到整百。而3 4 5 6 7=25,8 9 10 11 12=50,13 14 15 16 17=75,18 19 20 21 22=100,可见尾数75的凑够4组、尾数0的凑够3组即凑成整百。即从3加到37凑成整百,n最小值为37。

本期答案整理:子曰 编辑:子曰

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