答案是不可能,三根针永远不会互成120°。
当然了,前提是这个钟必须三根针每时每刻都在动,因为有些钟表是秒针绕一圈结束,分针才会动一格。
我们以钟表盘面建立极坐标,12点方向为正,顺时针角度为正。
(上图)为了方便,我们设三根指针长度都为1
秒针为OA,坐标为(1,α)
分钟为OB,坐标为(1,β)
时针为OC,坐标为(1,γ)
每个指针的角速度我们容易知道,因此每时每刻动了多少角度,我们就可以列出式子(下图)
即当某两根针尖相距根号3的所有可能条件下,其中一根针尖不能和剩下的一根距离等于根号3(见下图)
即当分钟和时针成120°时,秒针永远不可能和分钟也成120°
所以不存在三针互成120°的情况。ps:除了证明不能成120°外,有了这些等式,我们还可以求任意情况下指针的关联位置,或者一些其他情况。
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