一道初中几何题-圆与三角形的问题
一个等边三角形ABC的边长为12，其外接圆内部有一个内切圆，切点为T，并且这个内切圆与等边三角形AB和AC的两个边相切， 切点为P和Q，求PQ的长度。
解： 如图所示， 做辅助线AT和BT，N是AT与PQ的交点。 并设内切圆的圆心为M， 连接MP，
解题思路是求出内切圆的半径MP， 然后在三角形MNP中， 利用直角三角形30-60-90度的特性， 求出另一个直边 NP， 就可以求出PQ。
设大圆的半径为R， 小圆的半径为r, MT=PM=r,
显然AT=2R, AM=AT-MT=2R-r,
BT=R (这是因为AT=2R， 而直角三角形∠ABT=30°)
根据直角三角形APM相似于直角三角形ABT， 有：
PM/BT=AM/AT
即：
r/R=(2R-r)2R,
由此解出：
R/r=3/2
r=2R/3
对于一个边长为12的等边三角形， 其外接圆的半径为中线长的2/3， 所以
R=12x(√3)/2x(2/3)=4√3
最后回到直角三角形MNP， 根据30-60-90度的直角三角形的边长关系有：
NP=MPx(√3)/2=r(√3)/2=2R/3x(√3)/2=4
所以PQ=2NP=8
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