探索宇宙奥秘是一个永恒的话题，由此产生的天文学更是一门深奥难懂的学科，所以我们常常用“上知天文，下知地理”来表达一个人的博学。
天文望远镜
涉及天文必不可少的是对海量观测数据的处理与计算，以及对三角形、球体、圆等几何元素性质的研究。“勾股定理”是人们发现的最早一个关于直角三角形的性质。
如图，在Rt△ABC中，已知其中两边a,b，可以求得第三边。但是如果在Rt△ABC中，已知一个角（如，A=3°）及一条边c（如，c=60），如何计算边a及b的值呢?（*）
对于古人来说，这不是一个简单的问题，但是基于航海（根据恒星位置来确定夜晚时间，需要测距）等实际需要，他们必须克服困难。公元前2世纪，古希腊著名数学家喜帕恰斯（Hipparchus）迈出了最重要的一步。
Hipparchus
Hipparchus是公元前2世纪古希腊著名的天文学家，关于他的生平我们知之甚少，学术成就也主要都来自Ptolemy的记录。Hipparchus首先使用“纬度和经度”来确定地球上地点的位置，倡导古巴比伦人的将圆分成360°的划分法，并且曾编过850个恒星的目录，但这些都不足他下面的这个成就引人注目。
为了解决（*），Hipparchus将Rt△ABC放到圆中来研究。如图一，易知弧BC所对圆心角∠COB是圆周角∠A的两倍，记为∠COB=2∠A=2α。
Hipparchus使用60进制，并取直径|AB|=120，周角为360°，结合几何的方法将弦长|BC|表示为2α°弧BC的函数，并制作成“弦表”。
可惜此原表早已遗失，我们只能从托勒密Ptolemy的《天文学大成》（Almagest）一书中了解改进以后的“弦表”及其推导过程。详情见附录[1].
图一（半径|AB|=120）
《天文学大成》（Almagest）第二卷载有现存最古老的“弦值表”。如下图，表格左边三列为希腊文，右边三列为译文。Arcs指有一定角度的弧长、chords指对应的弦长，从“弦表”知，Arcs=4°时，chords=4;11.16≈4.187778. 即，4°弧长所对应的弦长值约为4.187778，我们用符号ch( 4°)≈4.187778表示。
【注】：4;11.16为60进制计数法，转换为10进制，4;11.16=4 11/60 16/3600≈4.187778
Almagest中的“弦表”相当于给出了0-90°的每隔15′的正弦值
那这与解Rt△ABC有什么关系呢？我们再次回到图一，ch( 4°)≈4.187778，相当于在直径|AB|=120的圆中，圆周角2α=4°所对弦长|BC|≈4.187778. 到这里，估计大家也发现了，这不就是我们学习的“正弦”的变形吗？ ch(4°)与sin(2°)的关系如下
图一（半径|AB|=120） 右图α=2°
有了Hipparchus的“弦表”，我们能轻松解决前文提出的问题：在RT△ABC中，已知A=3°，c=60，求a的值。根据“弦表”，ch(6°)=6；16.49≈6.28027778，则
解决了直角三角形问题，那如果是锐角、钝角三角形又如何根据“弦表”求边长呢？Hipparchus有一个漂亮的想法——通过作高线可以转换为直角三角形，然后查表计算。如图二，如果已知∠A及边a、c,解边b的步骤如下：
1. 作BG⊥AC，根据∠A计算出∠ABG,查“弦表”，并计算|AG|
2. 勾股定理计算|BG|.勾股定理得|CG|。
3. 因此b=|AG| |CG|
图二 锐角和钝角三角形的情形
太漂亮了！利用“弦表”并结合“勾股定理”，Hipparchus能很顺利的解三角形的边或角，也即球面三角形中弧与弦的转换，而这其中扮演重要角色的就是“正弦”。Hipparchus的“弦表”让一门全新的学科——“三角学”诞生了，所以后世将Hipparchus称为“三角学之父”。
根据上面的叙述我们知道，Almagest中的“弦表”建立在“圆”的基础上，描述了2α°弧BC与其对应弦长|BC|的关系。到了公元5世纪，印度数学家阿耶波多（Āryabhaṭa）意识到实际应用中只需要考虑弧BC对应的半弦长|BD|。
阿耶波多（Āryabhaṭa）是迄今所知最早的印度数学家，著有《阿耶波多文集》，由于他对科学的巨大贡献，1976年,印度将其第一颗人造卫星命名为“阿耶波多人造卫星”。
在三角学上，Āryabhaṭa将圆周等分为360*60=21600等分，根据周长21600=2πR，取R≈3438（此处理方式可看成“弧度制”的雏形）。据此得到α=3°45′时，|BD|的值为225。用符号表示：jya（3°45′）=225。
因为sinα=jyaα/3438，取R≈3438，这里的|BD|类似于中学课本中的角α的“正弦线”，从“弦长|BC|”到“半弦长|BD|”，Āryabhaṭa离现代意义下的“正弦”概念只差一步，而这一步属于10世纪的阿拉伯数学家艾布*瓦法（Abu a1-Wafa’，940～998）。
Wafa对“正弦表”作了一个深刻的改进，在Āryabhaṭa“半弦”的基础上，Wafa不再使用“半弦”来作表，而是使用了“半弦”与半径的比值|BD|/|BO|,这正是α°在现代意义上的“正弦值”。除了对概念的改进以外，wafa得到的“正弦值”精度也着实厉害，以sin30′为例，wafa计算得到60进制下的值为31；24；55；54；55，转化为十进制是0.008726536673.这与sin30′的精确值相比要直到小数点后9位才有出入。
但是，Wafa的“正弦表”依然建立在“圆”的基础上，这里的角度α°依旧是指α°弧。到此，“正弦函数”基本成型，但是依旧是存在于“天文学”著作中，数学家们的下一步工作是将“正弦表”变得更加精确，并让以“正弦函数”为代表的“三角学”从“天文学”中解放出来。
13世纪，阿拉伯数学家纳西尔.丁(Nasir ad-Din, 1201-1274)的两部数学著作——《横截线原理》和《论四边形》，内容尽管很平常，但是它仍值得我们记住，因为它们最早把“三角学”作为独立的学科进行论述，使“三角学”脱离了“天文学”。自此以后，三角学在韦达等著名数学家的大力推广下，得到了前所未有的发展，其中包括大量的三角函数公式的发现与证明，以及17世纪以后的“多元发展”、20世纪的概念归一统，这里摘取部分重要节点。
（一）.16世纪以前，“正弦函数”都是在“圆”内讨论的，哥白尼的得意门生——奥地利数学家雷提库斯（Rhaeticus，1514—1574）的《三角学准则》改变了这一格局，将正弦函数的定义直接建立在“直角三角形”上，即sinα=对边/斜边。这是我们在中学时候学习的定义。但遗憾的是，17、18世纪的数学家并没有关注他的定义方式，而是继续使用“圆”内的线段来表示“正弦”.
（二）.18世纪，英国著名数学家威尔森将角度从锐角推广到钝角、辛普森（ T.Simpson）开始考虑钝角所对三角函数的正负问题.
（三）.18世纪，欧拉在《无穷小分析引论》中首次用单位圆来定义“正弦函数”
（四）.19世纪，“正弦函数”的定义呈现多元化态势，角度被推广到任意角。到了20世纪，基于直角坐标的“终边定义法”在多种定义中脱颖而出，“几何线段”定义则被人们遗弃.也正因为如此，数学家们开始更多的关注“正弦函数”的图像与性质.
附录【1】.《古今数学思想1》(M·克莱因).上海科学技术出版社.2009
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