我们知道，每次拔号上网运营商会给你分配一个IP地址，通常每次都不一样。 我记录了355 次拔号得到的IP地址。其中：
- 237 个地址是各出现了（仅）1次的；
- 50 个地址是各出现了（仅）2次的；
- 6 个地址是各出现了（仅）3次的。
因为公网IP是稀缺资源，于是就想琢磨一下我这里运营商的IP地址池到底有多大。根据这些数据能否估算出地址池的大小N呢？
题图
1) 简单的数学模型上面的实验中总共得到了293 (237 50 6)个IP地址，反过来，未被选中的地址是 N - 293个。 于是可知：
- 经过355次拔号，某一特定地址不被选中的概率是 (N - 293)/N；
- 另一方面，仅拔号一次，某一特定的地址不被选中的概率是 (N - 1) / N。
于是我们可以得到下面的方程，并在Mathematica里求数值解（注意要限定实数域，否则会得到很多复数解）。
图：简单模型的方程及其解
显然 N > 293，于是有意义的解是 891.992。这是一个类似于平均值（数学期望）的数。 我们可以说，N在892附近。至于有多近，现在还不清楚，N可能是800，也可能是1000。
不过，这个模型里没有用到[237, 50, 6]这个1，2，3次的分布。这样做对吗？
2) 简单的模拟实验我准备用Python模拟一下，用到下面一些package。
import random import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt from multiprocessing import Pool
numpy里有一些现成的函数，用很短的代码就可以完成模拟；pandas用来画图，最后为了提升速度会用到多进程。代码在Jupyter Notebook里运行。
图：简单的模拟实验
一次实验的代码其实只有一行，流程是：
- 生成355个0~n之间的随机数；
- 统计每个数出现的频次；
- 统计每个频次出现的频次（即出现了0, 1, 2, 3... 次的数有多少个），其中出现0次的数目是不需要的。
把实验得到的频次和目标频次进行比较，相等就把计数加1. 对于每个n值，试验10000次，看看有多少命中的。
可以看到峰值确实是在900附近，大约是0.6%的命中率。也就是说，对于N在900附近时，从中取355次地址，大约有0.6%的可能会出现[237, 50, 6]这样的分布。
尽管这个值很低，但我们要看相对的高低，在900附近，是最有可能出现这个分布的。
3) 程序的改进前面的代码里可能会匹配到[237, 50, 6, 2]（即还有2个地址各出现了4次）这样的分布，所以严谨一点，我们可以把匹配目标设为[237, 50, 6, 0, 0, 0]。再长也没有必要了，因为高频次的数量降低是很快的。
把程序改为多进程模式的。4核8线程的CPU把Pool大小设为8,实测CPU占用率能达到100%（而之前确实是1/8左右的占用率）。把每一个N值的模拟次数增加到2千万，这样可以得到较为平滑的曲线。
图：改进的模拟程序
这时可以得到最大概率对应的N值是891, 和简单的数学模型非常一致。
4) 概率公式和概率积分根据“不尽相异元素的全排列”可以推出，出现[237, 50, 6]这个结果的概率p[n]，和n的关系，如下图。 用这个结果画出的曲线（图略）和模拟的完全一致，但速度快得多，而且是完全平滑的。
直接把这个概率“积分”（严格讲是累加），得到的结果是1.6. 为什么不是1呢？
因为这个概率p(n)表示的是对于某一个n，出现[237, 50, 6]这个结果的概率（它的反面是出现其它频次的概率）；而我们需要的概率q(n)是指，[237, 50, 6]这个结果的对应的N，100%会落在比如说293~10000之间，那么它落在n的概率是多大呢？
让我们假定这两个概率是正相关的，这样把p(n)的积分归一化，就可以得到q(n)。于是我们用概率公式得到下面归一化的积分曲线。
图：概率公式和概率积分
从图中可以估算出，N 98%的可能会落在700~1200之间。曲线的陡峭程度反映了N的集中程度（如果取样次数比355次更多，结果应该会更集中）。
5) 伯努利试验和二项分布其实这个问题是概率论中的一类典型问题，可以和伯努利试验及二项分布对应上。
在每次拔号中，选中某一地址为成功，否则为失败。m次拔号中，某个地址被选中k次的分布符合二项分布 b(k, m, p)，其中p是被选中的概率（对于大小为n的地址池，p为1/n）。
于是，m次拔号中，被选中k次的地址的总数的期望值为：b(k, m, p) * n。具体如下图所示：
图：基于二项分布的计算
上图中给出了出现1~5次的地址总数随地址池大小n的分布。下图则给出了目标频次[237, 50, 6]附近（ /-10%）所对应的n值。比如，当n取值700~1150时，最有可能出现237个1次地址。因为图中是期望值，所以并不意味着在这个范围之外不会出现237个1次地址，只是图中区域是概率最高的部分。这也可以理解，为什么根据3个条件得出的范围并不是严格一致。
图：基于二项分布的结果
6) 结语本文对“我这里”的公网IP地址的数量这一蛋疼的问题，从数学上进行了推演，从程序上进行了模拟。数学简洁但高深，模拟笨拙但直观。殊途同归，两者得出了基本一致的结果。
本题可以作为码农编程的一个小练习，比如有人用了PHP语言，因为它有高精度的数值计算；有人用了R语言，因为它有现成的统计函数；继续的改进甚至可以考虑使用GPU提升模拟速度。
至于“我这里”是多大的范围，根据公里级的IP地理信息应该可以推测出来。这不是本文的重点。
本题在讨论过程中，得到了色影无忌众多网友的见解，@siliconworm, @TakeThat05, @rks, @pipedream，特此致谢。
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