“样本方差要除n-1”，这句话似乎一直纠结在学统计的人心里。那么，样本方差究竟为什么要除n-1呢？
有的解释说因为要满足均值，就只剩下了n-1个可能；有的人说因为样本均值用掉了一个自由度，所以只能除n-1。
下面，我们就从概率论的角度来推导一下为什么是n-1。
我们之所以要计算样本方差，是因为希望可以通过样本方差来表示总体方差，即希望样本方差的期望等于总体方差。不使用期望解释的话，就是希望如果不断从总体中抽取无数个样本组，最终所有样本组的方差的均值就是总体方差。
我们先使用除n-1的公式计算样本方差的期望，此时样本方差的公式为：
因此，样本方差的期望为：
因为要使用样本方差估计总体，所以我们总体均值将总体均值引入到样本方差的期望中：
因为期望具有如下性质（其中C为常数）：
故上式的样本方差可以继续化简为：
我们已知总体方差的公式为：
又知均值的方差为（其中D(X)表示X的方差）：
故上式的样本方差还可以继续化简为：
所以当样本方差除n-1时，样本方差的期望才等于总体方差，在概率论中称之为无偏估计。
还可以用如上方法计算当样本方差除n时样本方差的期望，最终得到如下结果：
此时样本方差的期望不等于总体方差，不是总体方差的无偏估计。
作者：长行
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