已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(1)

题目:

直角三角形ABC中,M为AC的中点,AB=BD=3,CD=2,求阴影部分面积

知识点回顾:

直角三角形性质定理
  1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(勾股定理)
  2. 在直角三角形中,两个锐角互余。
  3. 直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
  4. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  5. Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(AD)²=BD·DC;(AB)²=BD·BC;(AC)²=CD·BC。
直角三角形判定定理
  1. 判定1:有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  2. 判定2:若a² b²=c²,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
  3. 判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  4. 判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
  5. 判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
  6. 判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
相似三角形性质定理
  1. 对应角相等;
  2. 对应边成比例;
  3. 相似三角形的周长比等于相似比;
  4. 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形判定定理
  1. 两角对应相等,两个三角形相似。
  2. 两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。
  3. 三边对应成比例,两个三角形相似。
  4. 三边对应平行,两个三角形相似。
  5. 斜边与直角边对应成比例,两个直角三角形相似。
  6. 全等三角形相似。
梯形蝴蝶定理
  1. 相似图形,面积比等于对边比的平方也就是S1:S2=a^2/b^2
  2. S1:S2:S3:S4= a²:b²:ab:ab ;S1:S3=S4:S2
  3. S3=S4
  4. S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
  5. AO:OC=(S1 S3):(S2 S4)

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(2)

粉丝解法1:

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(3)

粉丝解法2:

∵M是中点,∴a d=a b c=15/4又c d=9/2 ,b 2a=3解得:a=15/16

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(4)

粉丝解法3:

解:AB=3 BC=3 2→S△ABC=15/2过点M作ME∥BC交AD于E M是BC中点→EM∥DC→EM=1 EM∥BD→△EMN∽△DBN→EM/BD=MN/BN=1/3 S△ABM=15/4→S阴影=15/16

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(5)

粉丝解法4:

如图,连接CN,设S△AMN=a,S△CDN=2b,由题意可知: 其他三角形面积如图所标,S△ABD=8b=9/2b=9/16, S△ABC=5/3·S△ABD=15/2S△AMB=S△ABC/2=15/4S阴影=15/4—5b=15/16

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(6)

粉丝解法5:

MN:BN=2×3/2/2):(3×3/2=1:3,S阴=ABM/4=5x3/2/2/4=15/16(平方厘米)

粉丝解法6:

连接CN,设三角形AMN面积=三角形CMN面积,设为a,三角形CDN面积为2b,三角形BDN面积为3b,三角形ABN面积为5b,三角形ABD面积=8b=9/2,b=9/16,三角形ACD面积 =2a 2b=3*2/2,a=15/16,阴影面积=15/16。

粉丝解法7:

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(7)

粉丝解法8:

由BD/DC*CA/AM*MN/NB=1得MN/BM=1/4阴影面积=3*5/2/4/2=15/16

粉丝解法9:

分享个不同思路,最近辅导小朋友,习惯用坐标系解法,此题转换成知道N点坐标,即可求解了。 M(2.5,1.5),AD(y=-x 3),BM(y=3/5x)函数图像都很简单能够直接看出来,然后计算交点N的X坐标为15/8,阴影面积就是高差(2.5-15/8)xAB/2 =15/16。

粉丝解法10:

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(8)

粉丝解法11:

解:连结Nc,设S△ANM为a S△DNc为b,则: ∵AM=MC,BD:Dc=3:2 ∴S△NcM=S△ANM=a S△BND=1.5S△DNC=1.5b S△ABM=S△Bcm=a+2.5b S△ABN=2.5b S△ABD=1.5b 2.5b=4b 4b=3^÷2,b=9/8 S△ADc=3x2÷2=3 S阴影=(3-9/8)÷2 =15/16

粉丝解法12:

也可这样解: 连结Nc,设S△ANM为a,则 S△NcM=S△ANM=a S△ANc=2a S△ABN:S△ANc =BD:Dc=3:2 S△ABN=3/2×S△ANc =3/2x2a=3a S△BcM=S△ABM=4a S△ABC=8a 8a=3x5×1/2=15/2 a=15/16

粉丝解法13:

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(9)

粉丝解法14:

∵连接NC→AM=MC→S△BAM=S△BMC=1/2S△ABC=15/4→设S△AMN=a→ S△ANB=15/4-a→连接MD→S△CMD=1/2×2/5S△ABC=1/5×15/2=3/2→ S△DMC=S△DMA→S△DMN=3/2-a→ S△NBD=15/4-3/2-3/2+a=3/4+a→(15/4-a)/(3/4+a)=a/(3/2-a)→a=15/16。

粉丝解法15:

连接CN。 ∵AM=MC ∴S△ABN=S△CBN S△AMN=S△CMN ∵BD/CD=3/2 ∴S△ABN/S△ACN=3/2 →S△ABN/2S△AMN=3/2 ∴S△ABN=3S△AMN 设S△AMN=1份,则S△ABN=S△CBN=3份,S△CMN=1份,S△ABC=8份 ∴S△AMN=1/8S△ABC=1/8×3×(3 2)÷2=15/16

粉丝解法16:

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(10)

粉丝解法17:

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(11)

粉丝解法18:

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(12)

粉丝解法19:

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(13)

粉丝解法20:

梅氏△MBC与梅氏线AD相交有;(MN/NB)(BD/DC)(CA/CM)∴MN/NB=1/3,S阴=1/4S△ABM=1/8S△ABC=15/16

粉丝解法21:

已知三角形的abc求阴影部分面积(直角三角形ABC中M为AC的中点)(14)

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