已知三角形的abc求阴影部分面积（直角三角形ABC中M为AC的中点）

题目：

直角三角形ABC中，M为AC的中点，AB=BD=3，CD=2，求阴影部分面积

知识点回顾：

直角三角形性质定理

1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理)
2. 在直角三角形中，两个锐角互余。
3. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
4. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
5. Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（AD)²=BD·DC；（AB)²=BD·BC；（AC)²=CD·BC。

直角三角形判定定理

1. 判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
2. 判定2：若a² b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
3. 判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
4. 判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
5. 判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
6. 判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

相似三角形性质定理

1. 对应角相等；
2. 对应边成比例；
3. 相似三角形的周长比等于相似比；
4. 相似三角形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形判定定理

1. 两角对应相等，两个三角形相似。
2. 两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3. 三边对应成比例，两个三角形相似。
4. 三边对应平行，两个三角形相似。
5. 斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
6. 全等三角形相似。

梯形蝴蝶定理

1. 相似图形，面积比等于对边比的平方也就是S1：S2=a^2/b^2
2. S1:S2:S3:S4= a²:b²:ab:ab ；S1:S3=S4:S2
3. S3=S4
4. S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
5. AO:OC=(S1 S3):(S2 S4)

粉丝解法1：

粉丝解法2：

∵M是中点，∴a d=a b c=15/4又c d=9/2 ,b 2a=3解得:a=15/16

粉丝解法3：

解：AB=3 BC=3 2→S△ABC=15/2过点M作ME∥BC交AD于E M是BC中点→EM∥DC→EM=1 EM∥BD→△EMN∽△DBN→EM/BD=MN/BN=1/3 S△ABM=15/4→S阴影=15/16

粉丝解法4：

如图，连接CN，设S△AMN＝a，S△CDN＝2b，由题意可知: 其他三角形面积如图所标，S△ABD＝8b＝9/2b＝9/16, S△ABC＝5/3·S△ABD＝15/2S△AMB＝S△ABC/2＝15/4S阴影＝15/4—5b＝15/16

粉丝解法5：

MN:BN=2×3/2/2):(3×3/2=1：3，S阴=ABM/4=5x3/2/2/4=15/16(平方厘米)

粉丝解法6：

连接CN，设三角形AMN面积=三角形CMN面积，设为a，三角形CDN面积为2b，三角形BDN面积为3b，三角形ABN面积为5b，三角形ABD面积=8b=9/2，b=9/16,三角形ACD面积 =2a 2b=3*2/2，a=15/16，阴影面积=15/16。

粉丝解法7：

粉丝解法8：

由BD/DC*CA/AM*MN/NB=1得MN/BM=1/4阴影面积=3*5/2/4/2=15/16

粉丝解法9：

分享个不同思路，最近辅导小朋友，习惯用坐标系解法，此题转换成知道N点坐标，即可求解了。 M（2.5,1.5），AD（y=-x 3），BM（y=3/5x）函数图像都很简单能够直接看出来，然后计算交点N的X坐标为15/8，阴影面积就是高差(2.5-15/8)xAB/2 =15/16。

粉丝解法10：

粉丝解法11：

解：连结Nc，设S△ANM为a S△DNc为b，则： ∵AM＝MC，BD：Dc＝3：2 ∴S△NcM＝S△ANM＝a S△BND＝1.5S△DNC＝1.5b S△ABM＝S△Bcm＝a＋2.5b S△ABN＝2.5b S△ABD＝1.5b 2.5b＝4b 4b＝3^÷2，b＝9／8 S△ADc＝3x2÷2＝3 S阴影＝（3-9／8）÷2 ＝15／16

粉丝解法12：

也可这样解： 连结Nc，设S△ANM为a，则 S△NcM＝S△ANM＝a S△ANc＝2a S△ABN：S△ANc ＝BD：Dc＝3：2 S△ABN＝3／2×S△ANc ＝3／2x2a＝3a S△BcM＝S△ABM＝4a S△ABC＝8a 8a＝3x5×1／2＝15／2 a＝15／16

粉丝解法13：

粉丝解法14：

∵连接NC→AM＝MC→S△BAM＝S△BMC＝1／2S△ABC＝15／4→设S△AMN＝a→ S△ANB＝15／4－a→连接MD→S△CMD＝1／2×2／5S△ABC＝1／5×15／2＝3／2→ S△DMC＝S△DMA→S△DMN＝3／2－a→ S△NBD＝15／4－3／2－3／2＋a＝3／4＋a→（15／4－a）／（3／4＋a）＝a／（3／2－a）→a＝15／16。

粉丝解法15：

连接CN。 ∵AM=MC ∴S△ABN=S△CBN S△AMN=S△CMN ∵BD/CD=3/2 ∴S△ABN/S△ACN=3/2 →S△ABN/2S△AMN=3/2 ∴S△ABN=3S△AMN 设S△AMN=1份，则S△ABN=S△CBN=3份，S△CMN=1份，S△ABC=8份 ∴S△AMN=1/8S△ABC=1/8×3×（3 2）÷2=15/16

粉丝解法16：

粉丝解法17：

粉丝解法18：

粉丝解法19：

粉丝解法20：

梅氏△MBC与梅氏线AD相交有；(MN/NB)(BD/DC)(CA/CM)∴MN/NB=1/3，S阴=1/4S△ABM=1/8S△ABC=15/16

粉丝解法21：

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