2020中考数学贴心辅导每日一题（30）
2019年江西中考数学第19题
如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．
（1）
分析
这道题太经典了.一般地，若要证明过圆上某点的直线是圆的切线，可以先尝试连接这点与圆心.
如答图1，连接OC．
∵CD∥AB，且BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形．
∴CD＝OB＝OA．
∵CD∥OA．
∴四边形OADC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∵AD是切线，
∴∠OAD＝90º
（圆的切线垂直于过切点的半径）.
∴∠OCD＝∠OAD＝90º
（平行四边形的对角相等）．
∴CD是切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．
（2）如答图2，连接BE．
∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠OAD=90º．
∴∠EAD＋∠AED＝90º．
∵AB是直径，
∴∠BEA＝90º．
∴∠ABE＋∠EAB＝90º．
又∵EAB ∠EAD=90º,
∴∠ABE=∠EAD(同角的余角相等).
又∵∠ABE＝∠ACD(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠ACD＋∠AED＝90º（等量代换）．
评析
第（2）小题属于结论开放型,这种题目在中考中时有出现.
解题的关键是证明∠EAD=∠ACE,实际上就是证明弦切角定理——弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
题外话
在旧教材中，弦切角定理是一条非常重要的定理.新教材删去了有关“弦切角”的内容，应该是为了减轻学生的负担吧！这道题实际上是要求考生证明弦切角定理，这合适吗？
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