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还记得在学校时用过的绘图纸吗？就是上面有小方格的那种。这是数学家口中所谓的“空间的周期性密铺”的完美例证，它指的是整个区域都被不同的形状呈周期性的覆盖，形状与形状之间没有重叠，也没有缝隙。如果将整张图案平移一个瓷砖的长度，或旋转90°，可以得到相同的图案。
除了正方形之外，我们用等边三角形、正六边形也可以很轻松的得到这样的图案。这几种常见的普通瓷砖都具有以下特点：它们的每条边都有相同的长度，且边与边之间的夹角也相同。
那么，是不是所有的正多边形瓷砖都可以被平铺成周期性、无重叠、无缝隙的图案？
不，正五边形显然不可以。事实证明，我们是无法用正五边形瓷砖不重叠、无缝隙地贴满浴室的墙壁的。背后的原因其实也不难理解：一个普通的正五边形有5个大小为108°的内角，如果我们试图绕着一个点平铺正五边形，就会发现每铺3个就必须会出现一个缺口，因为3×108° = 324°，小于完整一周的360°；但绕一点平铺4个正五边形又必然会出现重叠，因为4×108° = 432°，大于360°。
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1974年，物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）以正五边形为基础，设计出了一种惊人的瓷砖图案。他发现仅通过两种不同的形状，就可以构造出一个能实现五重对称，并能无限延续下去且不会自我重复的图案。也就是说用两种形状的瓷砖进行平铺最终会得到非周期性的图案。
他观察到，一个正五边形可以由6个更小的正五边形，以及5个顶角为36°的等腰三角形组成（如上图所示）。在这之后，以相同的方式重复这一过程，如此一来，在下一次迭代之后形成的6个正五边形中就会出现菱形（下图左）。
在下一代迭代中，菱形会演变成冒着尖尖的形状（上图中），并且可以在其中添加一个正五边形，从而中间的空缺部分可被划分为一个正五边形、一个五角星和一个像船只一样的图案（上图右）。
对新的正五边形的放置也预示了五角星和“船只”的放置规则。如此一来，利用这种规则，我们可以用四种形状来进行平铺。
下面的图形便是在这种规则下利用这四种形状可以得到的平铺图案。
通过对这些形状进行一些简单的修改，彭罗斯成功创造出了非周期性、非重复性的图案。再后来，他仅用两种菱形就构建了这种非周期性的图案。
上图所示的彭罗斯瓷砖就是由两种并不具有五重对称的菱形构成的。
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在所有可能的排列中，自然界特别偏爱这类规律的排列，这与组装它们所需的能量是最少的这一事实有关。直到最近几十年我们才了解到，其实这种非周期性且永不重复的排列图样同样也可以存在于晶体之中。
上世纪80年代，丹·谢赫特曼（Dan Schechtman）发现了一种在所有方向上都具有非周期性图案，并且在旋转72°时仍具有旋转对称性的“铝锰”合金。对于这个结果，许多科学家都表示无法相信，因为在此之前，没有平移对称但具有旋转对称的晶体实际上是不可想象的。但结果证明，这样的结构可以用彭罗斯瓷砖的一种形式来解释。现在，具有这类不同寻常的对称性结构的晶体被称为“准晶体”。
○ 图片来源：Nobelprize
准晶体永不重复的模式源自于其构造核心的无理数，这个无理数就是一次又一次出现在彭罗斯镶嵌里的黄金分割率（Φ）。在彭罗斯镶嵌中，厚的菱形与薄的菱形的数量比是Φ；准晶体中原子间各种距离的比值也总是与Φ相关。
Φ的数值大约是1.618，它满足Φ = 1 1/Φ的关系。对一个正五边形来说，它所含有的五角星的边长与它自身的边长之比就等于Φ。因此，当一个准晶体是由正五边形构成的时，我们就能观察到72°角的旋转对称性。
准晶体材料的耐磨性使得它们具有许多实际应用，一个贴近我们日常生活的例子是，它们可被用作为煎锅的防刮涂层。因此，彭罗斯开启的这项研究不仅仅是一个概念性的数学挑战，它在许多实际应用中都具有很大的前景，包括制造高效的准晶体激光器。此外，一些研究人员也在思考如何将准晶体添加到家居涂料中，以此产生需要的反光效果。
文：佐佑
参考来源：
https://theconversation.com/the-maths-behind-impossible-never-repeating-patterns-63801
https://plus.maths.org/content/trouble-five
https://www.maths.ox.ac.uk/about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/aperiodic-tiles
https://www.wadham.ox.ac.uk/news/2014/january/non-repeating-patterns
https://plus.maths.org/content/os/issue16/features/penrose/index
https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/popular-chemistryprize2011.pdf
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