在前面讲的是无前提推演,就是在Pᴺ推演中把一个公式作为定理推演出来,它不依赖于任何前提,是从空前提得出的。但是在日常思维中,我们常常是从一些前提出发,推出了某个或某些结论,而我们想知道从这样的前提是否能逻辑地推出个结论,或者说已经进行的某个推理是不是正确而有效的。这就是有前提推演。

我们当然有很多办法做这件事情,例如:先把该推理表示为符号公式,再用前面所讲的判定重言式的方法去判定它是不是重言式(命题逻辑重言式及其判定方法https://m.toutiao.com/is/h2YaXEq);可以用推理的方法,看一看使用Pᴺ规则,能不能从那些前提推出该结论。

可能性推演(Pᴺ有前提推演)(1)

下面将举例说明二种方法如何使用。

用命题逻辑语言给出的推演

可能性推演(Pᴺ有前提推演)(2)

用自然语言表述的推理

将自然语言表述的推理符号化,再进行推演。

可能性推演(Pᴺ有前提推演)(3)

“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”——《庄子——天下篇》

可能性推演(Pᴺ有前提推演)(4)

它表明事物发展的变化是无限的,应用在数学中,一个数可以连续不断的除以2,永远也除不尽。上面例子1中的推理是正确的,但结论不正确,因为推理的前提不正确。

如果我们买保险,那么我们很沮丧。推演如下:

可能性推演(Pᴺ有前提推演)(5)

上帝不存在推演:

可能性推演(Pᴺ有前提推演)(6)

Pᴺ推演总结

严格的语形(与语义相区别)操作(或者叫句法操作),一切按规则办事。

1,如无相应规则,公式不可随意变形。哪怕是将¬¬A变成A,或是 A∧B变成B∧A,都须另起一行并注明使用了何种规则。

2,注意规则使用的严谨性。例如,从C得(A∨B)∨ C是使用一次初始规则∨ 的结果,但从A得(A∨B)∨C就需要使用两次。再如,等值消去和与等值置换是不同的规则。

3,假设的使用要与→ 、¬ 、¬-的使用严格一一对应。不允许一个假设过后无上述规则中的任何一条对该假设“负责”,也不允许使用上述规则时没有相应的假设。

可能性推演(Pᴺ有前提推演)(7)

命题逻辑的可靠性与完全性

可靠性( Soundness):(1)所有的Pᴺ定理都是重言式(恒真的)。(2)所有符合Pᴺ规则的推演都有保真性。

完全性( completeness):(1)所有重言式都是Pᴺ定理。(2)所有具有保真性的命题逻辑推理都有一个符合Pᴺ规则的形式推演。

,