高中数学空间向量点到平面的距离（平面法向量在处理空间角与距离问题时的应用）

传统计算空间角与距离需经过“作、证、算”三个步骤，引进空间向量这个有力的工具，给处理角与距离开辟了一条新的路径。

如何求平面的法向量。

设

是平面的一个法向量，

是平面内任意两个不共线的向量。根据

知

，则

，

。这样可以找出三个坐标x,y,z之间的关系，进而得到一组特解（x,y,z），即可作为的坐标。

一、求解点面距离与线面角

解法原理：如图1，已知点A是平面外的一点，是平面的一个法向量，点B是平面内一点，作

平面于C，则

。因为

，所以

。所以点A到平面的距离

。在

中，

是AB与平面所成的角，

是垂线AC与斜线AB的夹角，也分别是

的夹角，

的夹角（或其补角），有

。

图1

二、求解二面角

解法原理：如图2，设二面角

的大小为

分别是平面M与平面N的法向量，则角与角<

>相等或互补，所以

图2

三、例题

已知如图3，直三棱柱

中，

是侧棱

的中点。

（1）求证：平面

；

（2）求与平面ABM所成的角。

图3

解析：设平面ABM的法向量是

，平面

的法向量是。

（1）要证平面，只要有

即可。

建立如图所示的空间直角坐标系，则A（

），B（0，1，0），M（0，0，

），

。可知

。设

，由

和

，可得

。

不妨取

，则

，所以

。同理可求得

。而

，故

垂直，即平面

平面。

（2）（法一）设点

在平面ABM内的射影为点H，则在平面ABM内的射影为BH，

是与平面ABM所成角，且

在

中，

，

，所以与平面ABM所成的角为

。

（法二）设

的夹角为

，则可算得

。设与平面ABM所成的角为

，有

。

总结：利用向量工具来求解空间角的大小，省去作角与论证这两个步骤，因而降低了处理问题的难度。此外从上面例题两问解法来看，其操作性也是有章可寻的。

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