什么样的图形叫三角形？不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形。是否具有任意长度的三条线段都能首尾顺次连接？是否首尾顺次连接的三条线段都能组成三角形？
通过探究可以发现，在△ABC中，三角形任意两边之和大于第三边，即a b＞c，a c＞b，b c＞a，由此我们可以判断任意的三条线段是否能围成一个三角形。
例题1：三根木条的长度如图，能组成三角形的是（ ）
解：A、2 2=4＜5，不能构成三角形，故此选项错误；B、2 2=4，不能构成三角形，故此选项错误；C、2 3=5，不能构成三角形，故此选项错误；D、2 2=5＞4，能构成三角形，故此选项正确；故选：D．
此题主要考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形。
例题2：现有a、b、c、d四根木条，长度分别为a=3cm，b=5cm，c=6cm，d=8cm，从中取出三根木条组成三角形，一共能组成多少个三角形？
解：一共能组成三个三角形，它们的边长分别是3cm，5cm，6cm；3cm，6cm，8cm和5cm，6cm，8cm．
在△ABC中，三角形任意两边之差小于第三边，即a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a等等，由此可以求第三边的取值范围，以及进行化简求值。
例题3：若△ABC的三边长分别为m-2，2m 1，8．
（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
解：（1）根据三角形的三边关系，2m 1−(m−2)＜8，2m 1 m−2＞8，
解得：3＜m＜5；
（2）因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m=4．
所以，△ABC 的周长为：（m-2） （2m 1） 8=3m 7=3×4 7=19．
例题4：先化简，再求值．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简|a-b-c|-|b-c a|，当a=2、c=3时，求出代数式的值．
解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a-b-c＜0，b-c a＞0．
∴|a-b-c|-|b-c a|=-a b c-（b-c a）=-2a 2c．
当a=2、c=3时，-2a 2c=-2×2 2×3=2．
例题5：若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a-b＞b-c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7-5＞5-4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．已知“不均衡三角形”三边分别为2x 2，16，2x-6（x为整数），求x的值．
解：①16-（2x 2）＞2x 2-（2x-6），解得x＜3，∵2x-6＞0，解得x＞3，
故不合题意舍去；
②2x 2＞16＞2x-6，解得7＜x＜11，2x 2-16＞16-（2x-6），解得x＞9，
∴9＜x＜11，∵x为整数，∴x=10，经检验，当x=10时，22，16，14可构成三角形；
③2x-6＞16，解得x＞11，2x 2-（2x-6）＞2x-6-16，解得x＜15，
∴11＜x＜15，∵x为整数，∴x=12或13或14，都可以构成三角形．
综上所述，x的整数值为10或12或13或14．
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