文/庄小哥
人生在世啊，总是会有一些阶段性的小成就达成，比如年方二八就会吹口哨了，会打响指了，会掰手指掰得咔咔咔了……我不知道你会不会，反正我都会。就算不会你也不要着急，总之这些都是科学问题，好好学习它们的原理，总有一天就会了。
为什么说都是科学问题呢，仔细观察上面三种技能，你一定能找出共通之处——它们都是声学事件，不是嘛，无论是通过口腔还是通过关节，震得同学们纷纷投来赞许目光的都是那一声响……言归正传，本年度的菠萝科学奖数学奖颁发给了一篇名为《指关节发声的数学模型》的论文，就是为了表彰来自斯坦福大学的Vineeth Chandran Suja博士和他的导师巴黎综合理工的Abdul Barakat教授，联手给这个咔咔咔的声音找到了一个恰如其分的数学上的解释。
几年前，Suja还在巴黎郊外上生物力学课，他需要找一个让自己通过这门课的课题作业，导师正是Barakat。一开始，Suja举棋不定，被建议说试试看的几个项目都不像能用剩下的时间搞定，然后他焦躁地掰起了手指，掰着掰着，脑门灵光一闪，这不就是个好课题吗？
在他做调研的过程中发现，鉴于掰手指是如此流行的一项活动——想想看，掰得最有型的那些都能上银幕上当李小龙了——所以前辈们对它的研究也不少啦。早在1939年出版的一本《关节操纵的科学与艺术》（The science andart of joint manipulation）中，作者James Mennell就提出掰手指声来自关节释放过程中纤维囊的突然收紧，而1947年《解剖学期刊》（Journal of anatomy）上发表了来自圣托马斯医学院的两位学者Roston和Haines的文章，他们认为这是由于掌骨和近节指骨的关节面迅速分开，导致组织振动，从而发出了开裂声。这个争论，直到1971年才告一段落，来自利兹大学的几位风湿病研究者，采集了来自病患的滑液，从尸检中获得了关节结构，还通过反复实验，把17名被试的手掌固定在负重台上，一边掰（加负重）一边用X光记录下他们的关节变化，终于确定了声音的来源——既不是纤维囊也不是关节组织，而是在关节腔滑液中的气泡。严格来说，它们被称作空化气泡。
在X光机下观察被试的关节变化，图片来自论文A bioengineering study of cavitation in the metacarpophalangealjoint.
以有机玻璃和尼龙制成关节，注入滑液进行掰手指模拟实验，其中5-9帧可以看到气泡开裂。图片来自论文A bioengineering studyof cavitation in the metacarpopha-langeal joint.
空化是一个来自工程上的术语，指的是局部压力降低导致流体中形成蒸汽和气泡，这种气泡崩塌时会产生很高的冲击压力，也伴随着很强的动力噪音。利兹团队测得，在人体的关节腔滑液中，气体含量达到15%，其中超过80%是二氧化碳。他们认为，当我们对关节施加压力（人话：掰手指）时，就会迅速地形成空化气泡，并因为极度不稳定而破裂，而将能量释放为声音。这同时也能解释为什么大部分关节在掰响过后，大概要过20-30分钟才能再掰，因为排出的气体不会那么快被重新吸收。
看到这里，我的第一个感觉就是，好像也没Suja小哥什么事了嘛，40年多前的理论已堪称完美。但整个剧情在2015年却发生了变化，一个加拿大和新西兰的联合团队发表于PLOS One上的文章称，他们使用核磁共振成像来记录的掰手指测试中，并未观察到空化气泡的破裂，气泡从始至终持续存在于关节滑液内，所以他们的结论和1971年的结论相反，这些空化气泡的形成才是造成咔咔咔的来源。
利用核磁共振成像观察关节变化，图片来自论文Real-time visualization of joint cavitation.
刚掰完的手指（左）、对同一个手指施加一个外力（右），图片来自论文Real-time visualization of joint cavitation.
至此Suja小哥终于明白自己要做的是什么了，就是找到模型，来解释这两种观点孰对孰错。但你可能又要问了，都9102年了，气泡破不破有那么难以观察到吗？上台仪器不就得了？虽然小编之前也这么想过，不过现在我要告诉你你这么想是太天真了，要知道，为了分辨这其中的细节，仪器的实时成像需要达到每秒1200帧的速度拍摄，且不说这大大超过了现在市面上的X光机和核磁共振成像仪的能力，即使机器本身能达到，你也不能用，因为有个生理安全的考虑。所以在现有条件限制下，用人体实验的方法去验证上面的两种说法哪一个才是真理，是没有可能的啦。
还好，世界上还有数学这么一种以无形胜有形以四两拨千斤的工具，Suja小哥想到了一个可以用计算的来检验对错的办法，那就是把关节的几何尺寸、滑液的密度、运动粘度、表面张力等因素一起考虑在内，计算出其中所产生的空化气泡随时间而发生的压力变化，以及这个振荡过程产生的声压波，然后去和实测的掰手指响声的声波做比较。
实验中模拟的第三掌指关节（a）、核磁共振成像下看到的第三掌指关节（b）、第三掌指关节二维示意图（c），图片来自论文A Mathematical Model for theSounds Produced by Knuckle Cracking
在涉及空化气泡的动力学时，该研究当仁不让地用到了Rayleigh–Plesset 方程，一个模拟流体中空气泡运动的常微分方程，在流体力学领域大名鼎鼎，其中Rayleigh指的是1904年诺贝尔物理奖得主，第三代Rayleigh男爵，也是著名的“瑞利散射”的发现者，Plesset 指的是Milton Spinoza Plesset，一位相当有影响力的美国应用物理学家，他首次将这一原用于解决空腔问题的方程加上了表面张力的部分，用于解决空化气泡问题。该论文中把它写成了这个样子：
好了我们不要具体去管它是怎么解的了，总之通过解这个方程和另一个基于关节几何特征而构建的方程，能够得出气泡半径随时间和环境压力变化而产生的变化。
而随着时间而发生体积变化的气泡所能产生的声压波由下面这个方程得出：
此外，Suja在巴黎理工学院的声学实验室里，用麦克风录下了三名年轻人掰手指的声响，将这些声音的频谱特征和利用上述数学模型做出的模拟相比较。发现只有在模型中的气泡破裂（半径减小）的情况下，才能拟合出与收录的声音一致的曲线，这就支持了利兹大学团队当年的结论，的确是空化气泡的破裂才带来了那困扰我们多年的咔咔咔声。
不过，对于2015年加拿大和新西兰联合团队在核磁共振成像下观察到的结果，倒也并非完全否认，因为这个模型显示空化气泡只有部分坍塌了，但会留下稳定的微泡。以及在讨论部分还提到一点，实际上他们从实验室中录制的掰手指声中发现，声压在一开始有个小峰值，很有可能和气泡增长相关。
最后来谈谈看完这一系列东风压倒西风西风又反攻的研究后，给我最大的收获，还蛮重要（敲黑板了）：如果一个人没法跟李小龙似的双手咔咔咔或者浑身骨头都咔咔咔，那很有可能的原因在于关节之间的间隙太大了。早在1971年的研究中，实验就发现两个面之间的初始（静止）间距大于约1.4毫米的话，这样的指关节没法掰得响，这也是Suja在建模时充分给予考虑的一大前提。当年他们不是让17个人把手伸到X光机下面去了嘛，其中有7个人就是这种情况，而另外还有5个人，照说关节面间距是合格的，但也怎么也掰不响，因为呃……太紧张。
VineethChandran Suja
Abdul Baraka
我问了Suja博士一个大家都想知道的问题：到底怎么才能make sounds louder？他秘相授受：
1 声音大小的基础是关节大小，这是天生的；
2 你可以使用更大的关节发出更大的声音，比如膝关节，但一般人做不到；
3 拉关节可以发出比掰关节更大的声音！
欢迎亲自验证~
by安然
向好奇心致敬
来源：菠萝科学奖
编辑：Kun
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