新高考数学选择题分布规律（次压轴题新题型）

正态分布的应用,如随机变量在某一区间取值的概率,一般以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解和相关公式的应用.

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1.正态曲线及其特点

我们把函数

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x∈(-∞, ∞)(其中μ是样本均值,σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

正态曲线的性质:

(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

(3)曲线在x=μ处达到峰值(最大值);

(4)曲线与x轴之间的面积为1;

(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图(1)所示;

(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图(2)所示.

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2.正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如图14-4-2,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).

(2)正态分布的三个常用数据

①P(μ-σ<X≤μ σ)=0.682 6,

②P(μ-2σ<X≤μ 2σ)=0.954 4,

③P(μ-3σ<X≤μ 3σ)=0.997 4.

(3)3σ原则

由P(μ-3σ<X≤μ 3σ)=0.997 4,知正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ 3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.002 6,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.

在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ 3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.

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3.正态分布解题方法

服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法:

(1)利用P(μ-σ<X≤μ σ),P(μ-2σ<X≤μ 2σ),P(μ-3σ<X≤μ 3σ)的值直接求;

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解.

例1：若随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96)=0.025,则P(|ξ|<1.96)=（）

A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975

思路分析：由题意可知μ=0→可知正态曲线关于y轴对称→可得P(|ξ|<1.96)

解析：由随机变量ξ服从正态分布N(0,1),得P(ξ<1.96)=1-P(ξ≤-1.96),所以P(|ξ|<1.96)=

P(-1.96<ξ<1.96)=P(ξ<1.96)-P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ<-1.96)=1-2×0.025=0.950.

答案：C

归纳：对于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知:(1)P(x≥μ)=P(x≤μ)=0.5;(2)对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ a);(3)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).

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例2：为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态曲线如图14-4-6所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数是（）

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