素数的音乐:黎曼猜想

如果要求任何一位数学家提名数学中最重要的未解决问题,回答几乎肯定是“黎曼猜想”。这个困扰了人们一百多年的难题,是问某个特定方程的所有解是否有一种特殊的形式。

因此,答案肯定是“是”或“否”这两者之一。虽然这个问题隐藏在现代抽象数学那茂盛的森林中,它却是起源于几乎同数学一样古老的问题——素数的分布模式。

素数的概念就不多做介绍了。根据欧几里得的证明,我们知道素数是无穷无尽的,下面是他的证明的现代形式。

假设存在一个最大的素数,称为P。他把从2到P的所有素数相乘,

这样;N=2*3*5*7*…*P

我们看到N 1明显比P大,如果N 1不是素数它必然是素数的乘积。又因为N是P与之前所有素因子的乘积,所以N 1必然不能被任何素数整除,所以不存在最大的素数,即素数是无穷的。

数学界七大难题解决了几个(数学中最重要的未解决问题)(1)

黎曼猜想是什么?

这是它的一般表达式:ζ(z)=1/1^z 1/2^z 1/3^z …

ζ函数读作zeta函数,它为什么跟素数有关呢?这还要从欧拉说起,看完它的来源也就明白了。

我们知道计算无穷和就是将每一项数相加直至无穷,而它们的结果也通常是难以计算的。但如果一个无穷级数有特别简单的结构时,我们就能找出它的求和公式。

例如,无穷和

S=1 1/2 1/4 1/8 1/16 … 1/2^n,设X=1/2

代入上式得

S=1 X X^2 X^3 X^4 … X^n。我们容易发现当X大于零小于1时,这个几何级数具有有限的和。

然后把级数每一项都乘以X,得到

XS=X X^2 X^3 X^4 …

两式相减:我们得到

S-XS=1,简单化简S=1/1-X。简单了解了无穷和,我们来看欧拉是如何发现ζ函数的。

了解了调合级数具有无穷大的和,欧拉思考“素数调和级数”,他想知道所有的素数的倒数相加是有限还是无穷的?

设所有素数倒数的和为H,所有正整数倒数的和为M,就有:

H=1 1/2 1/3 1/5 1/7 …

M=1 1/2 1/3 1/4 …

他将M式中每一项加上指数S(也在之后将此函数命名为ζ函数),然后得到

M=1 1/2^s 1/3^s 1/4^s …。他将M分解为两部分,第一部分是所有素数项,第二部分是所有非素数项,就像下面这样。

M=【1 1/2^s 1/3^s 1/5^s …】 【1/4^s 1/6^s 1/8^s…】

容易发现当s大于等于1时,前一部分的和是无穷大,根据前面的例子建立的几何级数公式

1 x^2 x^3 …=1/1-x,其中X大于0小于1

所以当s大于1时我们设X=1/P^s,同前面一样,M也就是ζ(s)就可以写成:

ζ(s)=1 1/P^s 1/P^2s 1/P^3s …=1/1-1/P^s

他发现上式的无穷和可以写成另一种表达式,将它改写为无穷乘积:

ζ(s)=1/1-1/2^s*1/1-1/3^s*1/1-1/5^s*…

其中右边的乘积是取所有形如1/1-1/P^s的项,其中P是素数。欧拉发现当他将这个无穷乘积写成单一的无穷和时,式中的每一项都取如下形式:

1/P1^k1s…Pn^kns。

这里P1到Pn是不同的素数,k1到kn是正整数,根据算术基本定理,每个正整数都能被表示成P1^k1…Pn^kn,所以这个无穷乘积恰好可以转化为无穷和1 1/2^s 1/3^s 1/5^s …

数学界七大难题解决了几个(数学中最重要的未解决问题)(2)

欧拉将无穷乘积与素数联系了起来,可作为实数到实数到函数,它没有丰富的几何结构来进一步研究素数的分布模式。基于这种考虑,黎曼迈出了关键性的一步。

他用复数z代替实数s,使ζ(z)函数的值也变成复数。

根据素数定理,我们知道当x取较大的数时,素数的密度Dn被1/lnn所逼近,黎曼发现了密度函数Dn与方程ζ(z)=0的解有密切的关系。

他对函数ζ(z)的零点(方程的解)作出了大胆的猜测。他首先注意到-2,-4,-6…都是零点。也就是说,当z是复偶数时,ζ(z)=0。又接着证明了除了这些实数外,ζ(z)还有无穷多个复数零点。

他猜测,所有这些其他的零点都可以表示成z=1/2 ib的形式,其中b为实数,就是说这些所有复数零点的实部都是1/2。

黎曼证明了如果ζ(z)的所有复数零点都有实部等于1/2,则密度函数Dn与对数函数1/lnn(它是指数函数e^n的反函数)。曲线的差异程度以一种系统的随机方式变化。这意味着虽然无法准确地预测下一个素数会出现在哪里,但总的来说素数的分布模式还是非常有规律的。

数学界七大难题解决了几个(数学中最重要的未解决问题)(3)

黎曼猜想与万维网

对黎曼假设的证明会让来我们了解更多素数模式的信息,这些信息不仅对数学而言非常重要,对于现代生活的重要组成部分,即网络安全也有极大的影响。

我们每次在银行使用取款机或在互联网上进行商业交易时,都是依靠素数的数学理论来确保交易安全。下面作一解释。

如今的加密系统都是由两部分组成:一个加密程序和一个“密钥”。前者是一个计算机程序,后者通常是秘密选中的数字。加密程序对信息进行加密,使得加密的文档只有用密钥才能解开。现已发展了好几种加密方法,其中获得最多支持的是RSA系统,它是由三个发明者名字的首字母命名。

RSA系统本质上使用的解密密钥包含两个很大的素数(每个100位)由用户自己挑选。公开的加密密钥就是这两个素数的乘积。系统的安全性也依赖于这样的事实:至今还没有对大数快速进行因子分解的方法。当今最强大的计算机在几天内能分解的最大数不过100位左右。所以用两个100位素数的乘积,即一个200位的数作为密钥是非常安全的。

由于黎曼猜想告诉了我们如此多关于素数的信息,对这一猜想的证明很可能使因子分解方法有一个巨大突破,而并不在假设它成立,我们需要的是证明过程中发现的有关素数的新理论方法,所以它的含金量也远比一百万美元的大奖要高。

黎曼猜想成立吗?

通过计算机,数学家成功的证实了黎曼猜想对于ζ函数的前15亿个零点都成立。生活中能提供这种数据足以让许多人信服了,但数学不是这样。因为数是无穷的,因此也有大量可能性使不符合黎曼准则的零点存在。或许这样一个零点是存在的,只是它实在是太大了!大到任何计算机都无法处理。

不过大多数数学家相信黎曼的猜想是正确的。

1972年美国数学家蒙哥马利发现了一个公式,它描述了临界线(x=1/2)上ζ函数零点之间的间距。而后一位法国数学家写出了一组方程,这组方程规定了一个假设的量子系统,这个系统把所有素数都作为它的组成部分。

他还证明了这个系统有着对应于临界线上所有零点的能级。如果能证明除了这个能级对应的零点外没有其他零点,那他就证明了黎曼猜想。这也将是第一次用量子物理学的方法解决纯数学问题。

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