作者: 汪洋 (遇见数学创作小组核心成员)
恋上埃及分数1．追本溯源
传说古埃及一个老人临死前，立下一分奇怪的遗嘱，遗嘱说：家中有十一头驴，将在他死后分给三个儿子，一半分给长子，四分之一分给次子，六分之一分给小儿子。
老人死后，三个儿子为怎么分配驴，而发愁。十一头驴的一半是五头半驴，总不能将驴杀了吧，正在无奈之际，只见有一个头戴穆斯林民族白色缠头，身穿白袍，倒骑着一头小毛驴的人经过，他不就是那个大名鼎鼎的爱捉弄黑心商人、贪婪法官、伪善财主的阿凡提吗？兄弟仿佛遇到了救星，愁眉变笑颜。兄弟们立马叫住了阿凡提，并讲述了事情的经过。
阿凡提听后，把自己的毛驴牵到十一头驴中间，然后便开始按老人的遗嘱，分六头驴给老大，刚好是一半，然后又分三头给老二，也刚好是四分之一，最后分二头给老三，也刚好是六分之一。总数是十一头驴。然后剩下的头就是阿凡提本人的。
兄弟仨人非常感激，这个故事代代相传。直到今天 "阿凡提"这个名字在埃及都家喻户晓，甚至在人们的日常生活中经常能听到。它演变成了一种对人的尊称，意思相当于"先生"。
实际上故事中的道理用数学语言表述，即是
古埃及人，喜欢用几个分子是1的分数之和来表示有理数，这种分子为1的分数，后来就称作埃及分数，也叫单位分数。
▲ 埃及分数表示法(图自维基)
埃及分数有一些有趣的性质，如
更有趣的是下面是如下的等式：
式中右边前几个分数中的分母，是最小分数之分母除去1与自身之外的所有的约数。如果两边同时乘以最大的分母，我们发现这个最大的数，是除去自身之外的所有约数之和。这种整数最早是公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。
毕达哥拉斯曾说:"6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。"有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说:"6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天;事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了"。
如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数。
数学家欧拉曾推算出完全数的公式:如果 p 是素数，且 2^p-1 也是素数，那么 (2^p-1)2^(p-1) 便是一个完全数。2^p-1很明显是一个梅森素数。
是不是越来越有趣了！难怪阿基米德也研究过单位分数。1950 年（这个问题与我们中华人民共和国差不多同岁就好）Paul Erdős（保罗·埃尔德什）猜想:对于 n>1 的正整数，方程
恒有正整数解。这就是著名的埃及分数(Egyptian fraction)问题。
Stralss进一步猜想，当n≥2时，方程的解x，y，z满足 x≠y，y≠z，z≠x，x<y<z。
1963年柯召，孙奇，张先觉证明了Erdős猜想与Stralss猜想等价。
有些朋友可能不以为然了。就这样一个小学初中的分数问题，是一个著名的问题？我说是的，先来说下Stralss。他可是爱因斯坦的助手，德国出生的美国数学家。对于Erdős，（埃尔德什，跟我国鄂尔多斯高原同名，一看这个名就有一种辽阔的感觉）有着"现代的欧拉"、"数学莫扎特"之美称。他跟中国数学家，柯召是好友。熟悉数论的朋友，应该都会了解柯召是何许人也。想必不少人用过他跟孙奇编的数论教材吧。另外还有一个美丽的数学爱情故事跟Erdős有关。
在1933 年，匈牙利数学家 George Szekeres 那时还只有 22 岁。他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——Paul Erdős 大神。当时的Erdős 年仅 20 岁。
在一次数学聚会上，一位名叫 Esther Klein 的美女同学提出了这么一个命题：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。Szekeres 和 Erdős 等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。
众人大呼精彩。然而Erdős 和 Szekeres 仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论。 Erdős 把这个命题叫做"幸福结局问题"（Happy Ending problem），因为这个命题让 George Szekeres 和美女同学 Esther Klein 走到了一起，两人在 1936 年结了婚。最后的结局也真的很幸福。结婚后的近 70 年里，从未分开过。 2005 年 8 月 28 日， George 和 Esther 相继离开人世，相差不到一个小时。
也许因为思考Erdős猜想的问题，会带来吉祥幸福吧。华裔澳大利亚数学家陶哲轩也研究过这个问题。
Erdős(左)与陶哲轩(右)
美国出生的英国数学家莫德尔(Model)证明了，当 n-1 不是 24 的倍数时，n≤10^14 猜想成立。迄今为止，人们已验证当时猜想正确。可是，我们仍不知是否对所有的 n 或几乎所有的 n 猜想成立。
1956年，波兰数学家席宾斯基猜测，对于任何 n>1，方程
恒有正整数解。
上述两个猜想至今未获得证明或否定。这个问题难倒了世界上第一流的数学家。至此，我说这是一个著名的问题。应该没有人有疑义了吧。另外如果你是单身，或者渴望幸福美满的爱情。思考这个问题，会给你带来好运哟！！！
2．初窥门径以小学初中数学为题材的问题，竟然这么难。是不是有一种跃跃欲试的冲动呀。对于(1.5)式，
如果n为偶数，不妨假设：n=2m，则(1.5)式，可以写成如下
由(1.1)可知：
由(1.2)可知
因此n为偶数时(1.5)成立。
一下子就搞定了一半的自然数，是不是感觉很容易！！
如果n为4的倍数时，不妨假设：n=4m，则(1.5)式，可以写成如下
由(1.3)可知。
其实只须考虑 n 为素数 p 的情形。
因为若（2.5）式成立则：
也必成立，其中 m 为大于 1 的整数。
相当只要解决非常少部分的整数了！
而对于4k-1型数易证（2.5）式成立。因为：
而每一个埃及分数均可以由(1.1)(1.2)的方式分解成两个埃极分数的和.
所以对于4k-1型素数，(2.5)成立。
这样我们又解决了一半素数了。
因为同样对于6k-1型素数易证（2.5）式成立，因为：
所以对于6k-1型素数，(2.5)成立。
还可以证明8k-3型素数也使（2.5）式成立，因为：
所以对于8k-3型素数，(2.5)成立。
不难证明对于40k 17与40k-7型素数，也使(2.5)式成立。
综上好像问题快要解决了！其实不然，古人云：行百里者半九十！虽然由（2.7）（2.8）(2.9)(2.10)(2.11)我们已经找到了使（2.5）成立的一些通解。那么问题来了！这些通解能覆盖所有素数吗？
期待您的参与，有您的参与，结局会更精彩！(未完待续……)
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