一、楔子
元朝朱世杰《四元玉鉴》（1303）诚然是一部伟大的数学经典，但也总结了十三世纪中国数学的辉煌。中国数学史家钱宝琮曾论及元代数学始盛终衰之外烁原因有二：蒙古人一统中原之后，“科举制之复行与理学之普及是已。”至于元初数学所以远胜于前，则是学者多致力于此，“虽在干戈扰攘之际，未废研治之功。且师承有自，学友相从，利禄之途难进，名理之乐可求。金亡后数十年中，数学之进步远盛前代。李冶、刘秉忠、朱世杰三家学术，其尤为显著者也。”（引钱，1983b）
不过，由于李冶及其好友元好问与全真教高道交往密切，所以，金元鼎革之际，全真教所提供的学术环境，可能间接地促成了中国北方数学的发展。京都学派领导人薮内清或许是最早指出这个史实的科学史家，它大大地有助于我们了解宗教（如道教）与中国科学、数学的关系，值得我们再深入探讨。（参考薮，1967）
本文将略述金元数学家李冶（1192-1279）的数学生涯，及其历史环境中最重要的“制度性”因素之一──全真道观。本文论述，也因而假定任何一种数学知识活动，不能从它的社会文化脉络抽离（mathematics in context）。这是本文的限定，必须首先声明。
由于全真教是道教的一个支派，因此，本文第二节将对数学与宗教的关系做一个简单的说明，进而转述李约瑟（Joseph Needham）与席文（Nathan Sivin）的争论。接着，在第三节中，我将从制度史的观点，铺陈全真教所经营的学术环境。最后，在这样的脉络下，我们将试着探索李冶的学术生涯，以及全真教如何为他的数学研究提供正当性。
二、数学与宗教：数学社会史的一个侧面
从认识论观点来看，宗教影响科学或数学，在西方科学史上确有先例可寻。譬如说吧，中世纪学者在基督教的学术世界中，对亚里斯多德两部经典《论天体》（On the Heaven）与《物理学》（Physics）的热烈讨论，就可以证明很多科学研究的问题意识，在“言必称上帝”的宗教文化环境中，不仅“合法”，而且合情合理。（参考Lindberg，1992；洪，1996）伽利略的《两种新科学对话录》（Two New Sciences，1638），不仅模仿了欧几里得（Euclid）的《几何原本》（The Elements）体例，师法阿基米德（Archimedes）的数学物理进路，而且也回应了“化身”为超级数学家的上帝对他的召唤：
哲学（自然）是写在那本永远在我们眼前的伟大书本里的──我指的是宇宙──但是，我们 如果不先学会书里所用的语言，掌握书里的符号，就不能了解它。这书是用数学语言写出的，符号是三角形、圆形和别的几何图形，没有它们的帮助，是连一个字也不会认识的；没有它们，吾人就在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡著。(转引自Kline，1972，pp. 328-329)
正因为如此，所以，探索大自然背后的数学定律，既是科学哲学的一种（认识论）主张，也是荣耀上帝的另一途径。
回到中国数学史这一边，我们应该可以试着厘清类似问题是否具有“历史正当性”。诚然，中国道教的教义，是否曾经发展出类似的意识形态而影响自然哲学的进路，目前可能不是下结论的时候。更优先的问题或许是：究竟数学知识的形成与其他学问譬如《周易》的研究有没有关系？ 1 由于《周易》是儒者与高道之士擅长的学问之一，因而激荡出金元的“天元术”也未可知。（参考薮，1984，页46-48）无论如何，要是没有全真教所提供的学术环境，那么，金元时代中国北方的数学知识活动，可能就不会那么多彩多姿了。
不过，道教是否促成了中国科学的发展，既然曾经是李约瑟及其合作者努力想证明、而席文又极力想反驳的一个论点，本文照理不应回避。好在Alexei Volkov刚刚为台湾出版的英文期刊Taiwanese Journal for Philosophy andHistory of Science（远流出版公司赞助出版）客座主编“赵友钦专辑”（Volume 5, No.1,1998），为这个学术公案提供了一个简要但十分有用的说明。
针对这个科学与道教议题，Volkov选择以元朝赵友钦（1271-1335?）作为个案来研究，是很有史识的，因为赵友钦精通经学、天文历算及经纬数术，在科学与数学尤其表现特出，而且是一位如假包换的全真道士。根据他的徒弟陈致虚的追记，赵友钦（号缘督子）师承张模（号紫琼子），再往上追溯李玦（号太虚子）及宋德方（1183-1247）。而后者就是全真七子马钰与丘处机的徒弟。（参考Volkov，1998）于是，在中国历史文化中，道士、算家与谈天者这几种角色至少曾在赵友钦身上同时适用，所以，道教思想是否在认识论上启发了十三世纪金元学者的数学与自然哲学研究？道观对这些学者是否提供了制度化的诱因，让他们可以“正当地”研究数学或自然哲学？这些问题意识看来颇为合情合理，剩下来的研究工作，当然就是深入探索赵友钦与全真教了。
无论如何，Volkov综合赵友钦相关的历史研究成果，已足以在科学社会史的取向上，深化李约瑟的观点，亦即道教在一个“共享的认知空间”（shared cognitive space）中，成功地创造了有利于传播中国传统科学知识的“另类网络”（alternative networks）。基于同一论述，Volkov在另一方面反驳了席文的观点，这是因为席文认为道教门徒关心宗教甚于自然哲学，所以，他们的教义与修行当然无涉“大自然的理性探索”。对席文而言，按宗教的定义来说，它本来就无关科学。（参考Volkov，1998）
三、全真教与金元学术环境
金世宗大定七至九年（1167-1169），王重阳（1113-1170）以宁海全真堂为基地，创立全真教，训诲会众“悟理莫忘三教语，全真修取四时春”，劝人诵读《般若波罗密多心经》、《道德清静经》和《孝经》。事实上，它的教义是在《道德经》的基础上，融会三教“理性命之学”。王重阳强调“儒门释户道相通，三教从来一祖风”，可见他始终表明“三教平等”。根据刘精诚的研究，“三教合一是唐宋以来社会思潮发展的总趋势，北宋以来，苏辙、张紫阳等都主张三教之说兼容并蓄，全真道的三教合一，正是顺应这股社会思潮的产物。”（引刘，1993，页245）所以，全真教在十二、三世纪华北地区赢得士人的注意，就知识层面来看，是很容易理解的。
不过，全真教的理论继承了陈抟（？-989）的思想，也是让它在金元之际，对中国北方学术文化发挥影响力的另一个重要因素。这是因为陈抟的《无极图》对于后来道教内丹派影响很大。无论是王重阳的北宗道教或南宋白玉蟾的南宗道教，在先修命或先修性容或有所不同，但理论上都从陈抟一脉相承而来。同时，陈抟对易理象数的深入研究，为周敦颐的宇宙起源说──《太极图》开启了先河，两宋其他理学家如程颐、程颢、朱熹也都对他十分仰慕与推崇。（参考刘，1993，页226-227）因此，在动荡不安的乱世之中，全真道观提供给流浪学者除了栖身之所之外，显然也支撑“共享的认知空间”，让他们分享了丰富的知识世界。关于这一点，后文还会略作说明。
此外，王重阳将“仙”与“全真”联系起来，改革道教对神仙“白日升天、长生不死”的理解。同时，他也认为全真之意是“全其本真”，以“澄心定意，抱元守一，存神固气”为“真功”，要保全作为人性命的根本要素即精、气、神。换句话说，“全真、全气、全神”就是最高神仙境界。正是基于这种新的诠释，信徒的内丹修持变得比较可行，也因此获得了广大道徒的信赖。（参考刘，1993，页245）
王重阳去逝前不久，先后渡得“全真七子”丘处机（1148-1227）、谭处端（1123-1185）、马钰（1123-1183）、王处一（1142-1217）、郝大通（1135-1212）、孙不二（1119-1182）与刘处玄（1147-1203），并开始扩散到登州、莱州两地成立会堂，吸收会众。由于王重阳“家业丰厚”，自幼酷嗜读书、才思敏捷；此外，他也习弓马，臂力过人，1138年曾应金初科举武选，中甲科。（参考刘，1993，页243）因此，金庸小说《射雕英雄传》描述他们师徒都是武林高手，是极有可能的。
七子宣教时期，马钰、王处一、刘处玄、丘处机为官民斋醮的次数，较重阳立教时期频繁，会堂分布范围也更大，全真教在金末时已蔚为华北第一大道派，教众占河朔人口的五分之一。（据元好问估计，参见郑，1987，页114）元初，全真领袖丘处机善察天下形势，不赴金、宋之诏，唯以七十二岁高龄率徒十八人，行程万余里，历时四年，西觐成吉思汗，获礼遇敬重，遂得以免除“大小差发税赋”，从而成为天下道流之宗主。平心而论，元初蒙古人在中原的政权尚未稳固，必须利用势力庞大的全真教来招揽民心。至于全真教则顺势而为，持牒招求，广揽教众，在乱世中全活人民性命财产甚多，充分表现宗教济世精神，同时，教团势力也因而更加壮大。（参考郑，1987，页27、67）
除了在金元鼎革、社会动荡不安之际，全真教发挥了政治庇护与宗教慰藉的功能之外，它后来甚至还执掌了大蒙古国的国家祭典与国子学。根据正统道藏所载，在1232-1254年间，全真教曾多次为蒙古汗廷斋醮祀香。（参考郑，1987，页85）早在丘处机进驻燕京玉虚观时，往来即多金朝遗老与蒙古官员。处机死后，十八弟子之一的李志常（1193-1256）任都道录，负责教门与汗廷的联系，颇受蒙古人器重。志常也因此得以推荐同门师弟冯志亨（1180-1254）担任国子学总教官，他本人与杨惟中也一并奉旨担任。杨惟中虽非道士，但与全真教接触频繁。由此可见，全真教已经控制了国子学。不过，这主要归功于冯志亨拥有主持校务的学养，他早年是金朝太学生，能文善诗，与儒士交往密切，备受赞誉。（参考萧，1996a）
事实上，李志常也是“以儒家者流，决意学道”。正因为如此，他对动荡世局中流离失所的士大夫，总是随时提供庇护：
时河南新附，士大夫之流寓燕者，往往窜名道籍。公（即李志常）委曲招宴，饭于斋堂，日数十人。或者厌其烦，公不恤也。其待士之诚类如此。（《甘水仙源录》卷3，页0154下，转引自郑，1987，页144）
金太宗七年，宋使徐霆访问燕京，也看到很多士人的栖身道观：
长春宫多有亡金朝士，既免跛焦（薙发），免赋役，又得衣食，最令人惨伤也。（《黑鞑事略》，页16上，转引自郑，1987，页144）
入元以后，由于全真教教团内部的腐败、对贵族官僚的影响力减弱、汗廷的猜忌、儒士的振兴（以重掌国子学的控制权为例），以及佛道的冲突等等因素，使得全真教的势力逐渐衰退。（参考郑，1987，页141-149）尽管如此，元初名公钜卿与全真教士长相往来者仍旧不在少数，例如杨奂、姚枢、王磐、商挺与主领陕西教事的天乐道人李道谦，又如赵著、王鹗、姚枢、王磐、窦默、王善及本文主角李冶就与道录樊志应颇有来往。（参考郑，1987，页161）
此外，全真教与元代汉军世家的结合，也对流离失所的汉人学者发挥了很大的抚慰作用。譬如，全真教与（山东）东平严实曾修上清万寿宫，迎请范圆曦（号玄通子，郝大通弟子）为住持，时论以“治军”与“掌教”并称二人，当有以圆曦为幕府而安抚民心之考虑。与严实及其幕府交往密切的全真道士还有张至伟、商挺与赵天锡等等。此外，曾为全真教撰碑的官员颇多，其中不少是严实的幕府或学士，除了前述的商挺之外，还有宋子贞、王磐、徐琰、孟祺与李谦等人。（参考郑，1987，页107）据孙克宽研究，严实在东平兴学、招置幕府，不仅只是为了保存文化，亡金名士菌集山东，可能有政治的图谋。除了严实之外，汉家世侯真定史氏及保定张氏也竞相罗致亡金遗士，于是，东平、真定及保定遂成为人才荟萃之地，才俊之多，绝不下于和林与燕京。“他们利用这些人才在所辖地区推行汉地传统式的改革，恢复秩序、发展经济、保存文化。因此，各士侯辖地，在政治、军事、经济、文化上都具有一定程度的自主性。”（引萧，1994，页276-277）不过，召贤纳士充任幕府者，还是以严实最多，根据王名荪的统计，依附东平幕府的士人可考者二十一人，多数任秘书、参谋之类的幕僚官，其中就包括了元好问。（参考王，1992，页61-64）由此可见，李冶访问东平搜求算书（详见本文下节），是很有地缘因素考虑的。
四、李冶生平事迹
李冶，字仁卿，号敬斋，祖籍真定滦城县（今河北省滦城县）。他在金明昌三年出生于金大兴城（今北京市大兴县），父亲李遹，母亲王氏，有同父异母兄弟李澈与李滋，及两位同胞姊妹。他原名李治，后改今名。2
李冶被史家视为十三世纪最伟大的代数学家。（参考Ho，1970）他的主要成就在于将宋金元时代的“天元术”集大成，为朱世杰的“四元术”铺路。所谓“天元术者，中国之代数术也。立一元或多元以为未知量，使加减乘除有所凭借，依问题所示推演条段以造方程式，解方程以得所求数也。立一元以‘演段’者，世谓之天元术，立多元以‘演段’者，世谓之四元术。天元、四元之于中国数学史上之贡献，犹阿拉伯人代数之于西洋数学史也。”（引钱，1983b）
李冶的曾祖父及祖父都以医为业，因此，他的父亲李遹年少时亦习医，只是后来不愿“以人命试吾术”，遂改读律令。可是，随后却又认为法家寡恩，便尽弃前学，全心全意读六经、攻辞赋，终于成为能诗善画、博学多才的学者。
李遹于李冶出生前一年考中金朝词赋科进士，先后担任县丞与县令，后来升任大兴府推官，李冶便是在此地出生。不幸，李遹上司胡沙虎被“时人视之犹蛇虎鬼魅，疾走远避之不暇”，为了防避不测，为官耿直、敢言犯上的李遹便将家小送回故乡滦城。正值童年的李冶没有随行，独自一人到滦城的邻县元氏（今河北元氏县）求学。
李冶“幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风”（《元朝名臣传略》），李屏山曾赞誉他“仁卿不是人间物，太白精神义山骨”。金大安三年（1211），李冶二十一岁，父亲在东平府（今山东东平县）任治中，因见胡沙虎更加得势及朝政不可为，又惟恐胡沙虎迫害，遂辞职隐居于阳翟（今河南禹县），以诗画自娱，并将家眷接来同住，李冶也从河北来到河南。
大概从这时开始，李冶与元好问交往密切结为好友。后来，两人前往南都（即汴京，今河南开封市）拜赵秉文、杨文献为师，不久，双双文名大盛。李冶的多才多艺，较诸他的父亲不遑多让，请征之于李冶的自述：
李子年二十以来，知作为文章之可乐，以为外是无乐也。三十以来，知搴取声华之可乐，以为外是无乐也。四十岁以来，知究竟名理之可乐，以为外是无乐也。今五十矣，覆取二十以前所读论孟六经等书读之，乃知曩昔所乐，曾夏虫之不若焉。尚未卜自今以往又有乐于此以否。（《泛说》）
事实上，李冶虽年幼时即爱好算数，然而倾力研究，却可能是在五十岁之后。他在1248年写成《测圆海镜》，终于成为一代算学大师。不过，这个学术兴趣也可能与他四十岁以后的颠沛流离，乃至寄寓全真道观有关。
金正大七年（1230），李冶赴洛阳应试，被录取为词赋科进士，随即奉派高陵（陕西高陵县）主簿，但因窝阔台大军攻入陕西，所以未能赴任。接着，他又调往阳翟附近的钧洲城（今河南禹县）当知事。金开兴元年（1232），蒙古军攻破钧洲，李冶弃城北渡黄河，从此走上漫长而艰苦的流亡之旅。
李冶北渡后，便流落于山西忻县、县之间，过著“饥寒不能自存”的生活。根据薮内清的研究，“李冶在山西流浪之时，受到当地出现的数学之影响。金元之际，习算之人主要集中在山西南部汾河流域地区。其中平水是金朝时代出版最盛行的地方，平阳是元代道藏刊行的地方。天元术产生之处，可以说在汾河流域。”（引薮内，1967）此外，山西在当时也是全真道观数目仅次于陕西、河北与河南的地方，因此，李冶在流浪时寄寓道观是极有可能的。
北渡两年后，李冶终于在忻县境内的桐川定居下来，开始专心读书，“凡天文象数，名物之学，无不研精。”（《元史新编》，转引自孔，1988，页10）大概就在此时，他获得洞渊有关勾股容圆的一部算书，“日夕玩绎”，终于对早年“无以当吾心”的“考圆之术”豁然贯通。至于编成《测圆海镜》一书，则是他“山中多暇，客有从余求其说者，于是乎又为衍之，遂累一百七十问。”（〈测圆海镜序〉）此外，他也曾从东平府寻得一部算经，对于他集大成“天元术”很有启发：
予至东平，得一算经，大概多明如积之术。以十九字志其上下层数，曰：仙、明、霄、汉、 垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。此盖以人为太极，而以天地各自为元而陟降之。其说虽若肤浅，而其理颇为易晓。予遍观诸家如积图式，皆以天元在上，乘则升之，除则降之，独太原彭泽彦材法，立天元在下。凡今之印本复轨等书，具下置天元者，悉踵习彦材法耳。彦材在数学中，亦入域之贤也，而立法与古相反者。其意以为天本在上，动则不可复上，而必置于下，动则徐上。亦犹易卦，干在在下，坤在在上，二气相交而为太也。故以乘则降之，除则升之。求地元则反是。（引李治，1995，页32）
由此可见，李冶在桐川所参与的数学知识活动，包括了算书的搜集、学者之间的讨论以及师徒的传授。诚然，《测圆海镜》就是在这样活泼的学术环境中所创造出来的。
在《测圆海镜》完成后不久，李冶到太原住了一段时期，接着又流落到平定。平定侯聂珪接待他到帅府居住，十分礼遇。然而，他却一心想回到少年求学的元氏县定居。1251年，他结束流浪生活，如愿回到元氏县外封龙山下隐居教学。讲学之余，他与元好问、张德辉过从甚密，常一起游封龙山，时人因称之为“龙山三老”。由于张德辉曾在真定史氏家族手下为官，得忽必烈的信任，派任真定学校，遂受托举荐汉人学者，这是（1252年）元好问、（1257年）李冶先后应召与忽必烈王廷问对的主要原因。
会见忽必烈之后，李冶回到元氏，继续他“爱山嗜书，余无所好”（引王磐语）的日子。1261年，忽必烈聘他作翰林学士知制诰同修国史，但李冶以老病婉拒。至元二年（1265年），忽必烈再召他出任同一官职，他勉强就职，但一年后他又以老病辞，理由是“翰林非病叟所处，宠禄非庸夫所食。官谤可畏，幸而得请投迹故山。”（《元朝名臣事略》）其实，真正的原因是他后来透露的：
翰林视草，惟天子命之；史馆秉笔，以宰相监 之。特书佐之流，有司之事耳，非作者所敢自 专而非非是是也。今者犹以翰林史馆为高选， 是工谀誉而善缘势者为高选也，我恐议者羞之 。(《泛说》遗文，转引自《元朝名臣事略》)
这种隐而不仕的态度，与他的学术事业应该是极有关系的。大概在晚年时，李冶研究数学颇为自信，尽管在完成《测圆海镜》之后，他面对学家对“九九贱技”的鄙视，不无自我解嘲的心情：
览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑 我者当千数，乃若吾之所得，则自得焉耳，宁 复为人悯笑计哉？（李冶〈测圆海镜序〉）
在1259年，李治又完成了另一本数学作品《益古演段》。它是根据《益古集》（作者未被提及）“再为移补条段，细幡图式”而成，目的在普及“天元术”，“使粗知十百者便得入室啗其文。”（〈益古演段自序〉）这是因为他考虑到：
今之为算者未必有刘（徽）、李（淳风）之工 ，而偏心踸见不肯晓然世人，惟务隐互错糅， 故为溟悻黯#h，惟恐学者窥其仿佛也。不然则 又以浅近觕俗无足观者，致使轩辕隶首之术， 三五错综之妙，尽堕于市井沾沾之儿及夫荒郊 下里蚩蚩之民，殊可悯悼。（〈益古演段自序 〉）
无论本书是不是他的课徒讲义（参考孔，1988，页92-94），他治算的从容自得溢于言表，则无庸置疑。
从翰林院辞官回封龙山，李冶即专心著述教学，直到1279年病逝，享年八十八岁。他一生著述颇丰，除了前述两部数学作品之外，据《元史‧李冶传》的记载，他还著有《敬斋文集》、《壁书丛削》、《泛说》及《敬斋古今黈》。其中前三种已亡失，仅有极小部分依附其他文献而流传下来。《敬斋古今黈》是一部笔记类著作，内容遍及经学、哲学、历史、文学、天文、数学及医学，可以充分反映他的渊博学养。（参考孔，1988，页30-33）
《敬斋古今黈》对于我们了解李冶的学术生涯至为重要，它的内容解析还有待进一步的研究。不过，从它的一些相关内容，目前我们至少可以证明：李冶相当熟悉全真教等道教内丹派集气功、胎息、服饵、房中、养生为一体的修炼。譬如在本书中，李冶就万松和尚以为达摩无胎息法而提出反驳：
予谓万松之说非也。佛乘虽深密，要不出性命 二字。故知胎息法，只是以性命为一致。若谓 胎息等皆妄，则凡镫史所载机缘语句，独非系 驴橛耶？胎息虽不足以尽至理，亦至理之所依 也。今一切去之，则所谓性外求命，命外求性 耳。性外求命，命外求性，便是不识性命。（ 引李治，1995，页27）
此外，他也清楚说明精气神之舍的三丹田之位置（参考同上书，页81）。由此可以再度说明，李冶与全真道士交往应该十分密切才是。
五、“推自然之理，以明自然之数”
在《敬斋古今黈》中，李冶留下一则文字，颇能暗喻他自己中年颠沛流离之际的困顿与辛酸：
纳纸投名媿已深，更教门外久沈吟。事穷计急烧牛尾，不是田单素有心。此诗竟不知何人所作。投谒固可耻，然士当穷困，摇尾乞怜于人，亦可愍也。前辈又有云，门前久立处，席上欲言时，此真所谓不经此境，不能道此语也。（引李治，1995，页18-19）
这么说来，李冶后来获忽必烈重用而出仕，何以并不热衷？3 或许他对于蒙古人的不断征伐（包括攻宋与内战）十分不满（参考孔，1988，页27-28），不过，更重要的原因，恐怕是他自己已经在数学研究中找到安身立命之道，闻达与否似乎不是他的主要考虑了。请征之于王德渊的〈敬斋先生测圆海镜后序〉：
敬斋先生病且革，语其子克脩曰：吾平生著述，死后可尽燔去，独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者，庶可布广垂永乎！先生于六艺百家糜不串贯，文集近数百卷，常谦谦不自伐，惟于此书不忘称异于易箦之间，想有元妙内得于心者。
尽管如此，对李冶这样的学者而言，起码的社会地位与生活条件显然十分重要。也正是如此，金元之际的全真教所经营的学术文化环境，就变得非常相干了。然则，我们究竟应该如何着手呢？或许西方数学社会史学可以给我们一点启发。自从八十年代以来，社会史取径的西方数学史家在相关的研究上，多半十分重视算学的认识论上的正当性（epistemological legitimacy），与算学知识活动参与者（mathematical practitioner）的社会正当性（social legitimacy）（参考Biagioli，1989）。准此，李冶的算学研究是否受惠于金元之际的全真教？或许关键就在于这个历史脉络是否提供了有利的环境，让李冶可以“正当地”研究算学，而不必担心学术地位受到质疑或挑战。
可是，算学何以带给李冶这么大的精神满足呢？显然，这是因为他的所谓“自然之数”在“推求自然之理”上取得了主导作用：
彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也；非自然之数，其自然之理也。数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。
所以，苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而干端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。（〈 测圆海镜序〉）
另一方面，即使数学不过是一种“九九贱技”，然而，“由技进乎道”仍然是圣人所称许的：
由技兼于事者言之，夷之礼、夔之乐，亦不免为一技。由技进乎道者言之，石之斤、扁之轮，非圣人之所与乎？（〈测圆海镜序〉）
此外，他在解释“内经言：肾者作强之官，技巧出焉。”时，也特别指出：
技虽不至于道，亦游于艺者之所贵。巧虽未至于神，亦妙万物而为言。不作强则何以得之。（引李治，1995，页96）
由此可知，无论数学是“自然之数”也好，“九九贱技”也好，李冶的“自得”之情始终如一，无怨无悔。
李冶关于“自然之数”与“自然之理”的概念，无疑是陈抟以及其他宋儒易数理气论述的历史产物。如果说他也分享了全真教徒关于周易的研究，应该也不为过。此外，由上引他到东平访得算经之说明，我们也可以发现，如仙明霄汉等道教术语以及易卦二气升降等周易论证，在认识论层面上如何影响“天元术”的“如积图式”（亦即列方程式的方法）！
总之，李冶治算的认识论上的正当性，以及作为算家的社会正当性，都可以在全真教所经营的学术环境中得到合理的解释。这两种“正当性”当然支撑了 Volkov 所谓的“共享的认知空间”，因此，当我们讨论道教与金元数学的关连时，一个比赵友钦更早的恰当个案，恐怕非李冶莫属了。
六、结论
现在，让我们回来呼应本文一开始所引钱宝琮论断元代数学始盛终衰的两个原因，也就是：科举制度的重新实施，以及理学北上然后普及于华北地区。诚然！不过，全真教的式微，恐怕也是一个不可分割的因素。我们相信儒士的重掌学术文化的主导权，对于李冶“由技进于道”的主张，一定采取相当保留的态度；4 同时，科举重开的利禄之途，又吸引了学者的全副注意力，因此，算学又再度受到贬抑，是极有可能的。不过，从李冶逝世（1279年）到赵友钦逝世（1335年？）大约五、六十年之间，全真教的余绪究竟如何影响元朝算学，无疑是数学社会史的绝佳题材，值得深入探索。
注释
1 根据南宋数学家秦九韶，“圣有大衍，微寓于《易》。奇余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原。”（〈数书九章序〉）可见他的“大衍求一术”得自《周易》的启发是很有可能的。参考李继闵（1987）或刘钝（1993）。事实上，在中国的历史文化脉络中，数学与易学的关联，可以在焦循的著作中看得更为清楚。请参阅洪万生主编《谈天三友》（1993）。
2 目前中国数学史家大都采取“李冶”之名，唯刘德权点校《敬斋古今黈》时仍取“李治”为名。请参考他的“点校说明”，收入李治，1995，页1-4。又此书由畏友刘钝代购，特在此申谢。
3 根据王明荪的研究，元人的不仕而隐可归类为七种：(一)以为出仕的条件或能力不足者；(二)以朝廷之政风及需要不合意者；(三)以钦羡古隐逸之士者；(四)以道不行、时不用而隐者；(五)属于类似人生观的不仕者；(六)忠于故国之意而隐退者；(七)为义而隐者。（参见王，1992，页279-282）李冶应该归属于第四类，不过，由于他常引述陶渊明的诗歌，因此，自况古隐逸之士，当然也是一种自处之道。
4 在中国历史文化上有几个时期，数学参与者对于数学的学术地位感到自在，也因此做出更大的贡献。这些时期分别是魏晋、宋金元以及十九世纪清代。在这些时期中，对于儒士而言，算术既可以兼明，又可以专业，所以，“由技进乎道”的说法似乎也有了正当性。请参考洪万生（1982，1989，1990，1991a， 1991b，1993）及刘钝（1993）。
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